AL02 - Algebra 2, gruppi, anelli e campi

A.A. 2010/2011 - I Semestre - Crediti 10.



Informazioni Generali

Docenti Alice Fabbri Francesco Pappalardi
RicevimentoMercoledý 14 - 15:30Lunedý 11 - 13
Ufficio201209
Telefono 06 5733 8230 06 57338243
E-mail afabbri at mat.uniroma3.it pappa at mat.uniroma3.it
TUTORI Matteo Acclavio
Lezioni:
Lunedý09 - 11(Aula F)
Mercoledý09 - 11(Aula F - Esercitazioni)
Venerdý09 - 11(Aula F)
Lunedý16 - 18(Aula F - TUTORATO)
DESCRIZIONE DEL CORSO



Informazioni Generali Avvisi Diario delle Lezioni Testi Consigliati Programma Tutorato/Esercizi proposti Esoneri/Esami

Avvisi:

  • [18/09/11] Gli scritti dell'appello X saranno visionabili lunedý 19 Settembre alle ore 11:15 nello studio 209.

  • [25/02/11] I compiti dell'appello B saranno corretti entro domenica 27 Feb ore 20:00 e gli esiti appariranno nella sezione Esoneri/Esami di questa pagina. La prima sessione di orali si terrÓ Mercoledý 2 Febbraio alle ore 15:00. Gli studenti che non possono sostenere l'orale in quella data potranno concordare un'altra data DOPO aver conosciuto l'esito dello scritto.
  • [12/01/11] Gli orali del primo appello e per gli studenti che hanno superato le prove in itinere si terranno venerdý 14 Gennaio alle ore 9:30 in aula 009.
  • [10/01/11] I compiti corretti della seconda prova in itinere saranno visionabili domani alle ore 11:00 (circa) nell'aula dove si svolge il primo appello di AL210. In tale sede, chi lo vuole, pu˛ sostenere l'orale o, in alternativa, concordarne la data.
  • [03/01/11] Domani 4 gennaio Ŕ previsto un incontro di tutorato alle ore 11:00. L'aula non Ŕ ancora stata prenotata ma lo sarÓ domani mattina.
  • [03/01/11] Domani 4 Gennaio alle ore 9:15 Ŕ previsto un ricevimento per gli studenti che devono sostenere la seconda prova in itinere.
  • [23/12/10] La seconda prova in itinere Ŕ programmata per il 7 Gennaio alle ore 10:20 in Aula G. Nei primi giorni di gennaio saranno programmate ore di ricevimento per gli studenti. La data precisa sarÓ comunicata dopo natale.
  • I compiti corretti sono disponibili per visione durante l'orario di ricevimento di lunedi 8 Novembre. Sono ammessi a sostenere la seconda prova in itinere tutti gli studenti che hanno superato la prima con punteggio superiore a 15.
  • La prima prova in itinere si svolgerÓ il 2 Novembre alle ore 9:30.
  • [29/09/10] Le esercitazioni della Dottoressa Fabbri inizieranno mercoledý 6 Ottobre.
  • [20/09/10] Inizio Lezioni

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    Diario delle Lezioni:

    1. Lezioni 1 e 2 [20/09/10] Presentazione del corso. Definizione di gruppo e prime proprietÓ. Ripasso degli argomenti sui gruppi svolti in AL1
    2. Lezioni 3 e 4 [22/09/10] Ancora esempi di gruppi: i gruppi (Z,+), (Q,+), (R,+),(C,+),(Q*,x), (R*,x), (C*,x), (Zm,+), ... Ripasso sulle proprietÓ delle permutazioni. Decomposizione come prodotto di cicli disgiunti, esempi vari. L'ordine di un elemento in un gruppo. Elementi di ordine finito e infinito. ProprietÓ dell'ordine.
    3. Lezioni 5 e 6 [24/09/10] Ancora proprietÓ dell'ordine. Esercizi vari sulle permutazioni, ordine di una permutazione.
    4. Lezioni 7 e 8 [27/09/10] Ancora esercizi sulle permutazioni. Prodotto di trasposizioni. ParitÓ delle permutazioni. Il gruppo An delle permutazioni pari. La nozione di sottogruppo. Criteri per la verifica che un sottoinsieme Ŕ un sottogruppo. Esempi vari.
    5. Lezioni 9 e 10 [29/09/10] Sottogruppo generato da un sottoinsieme di un gruppo. Gruppi finitamente generati. Gruppi ciclici. Gruppi ciclici e ordini degli elementi. I sottogruppi di S3 e Z6. Intersezione di sottogruppi. Classi laterali (destre e sinistre).
    6. Lezioni 11 e 12 [01/10/10] Classi laterali. ProprietÓ e caratterizzazioni delle classi laterali. Esempi: Le classi laterali di un sottogruppo di Z. Classi laterali del sottogruppi di S3. CardinalitÓ delle classi laterali. L'indice di un sottogruppo. Il teorema di Lagrange e sue conseguenze (l'ordine di un sottogruppo divide l'ordine di un gruppo).
    7. Lezioni 13 e 14 [04/10/10] Altri esempi di gruppi: Il gruppo H dei quaternioni e il reticolo dei suoi sottogruppi, prodotti diretti di gruppi. Gruppi di ordine 8. Sottogruppi Normali. Esempi e proprietÓ dei sottogruppi normali. Definizione di gruppo semplice. Criterio per la verifica che un dato sottogruppo Ŕ normale.
    8. Lezioni 15 e 16 [06/10/10] (esercitazione) prodotto diretto di gruppi, esercizi su gruppi, sottogruppi e classi laterali, primi esercizi sui sottogruppi normali.
    9. Lezioni 17 e 18 [08/10/10] Elementi e sottogruppi coniugati. Caratterizzazioni per i sottogruppi normali. Il centro di un Gruppo. Esempi. Il gruppo GLn(K) e i suoi sottogruppi SLn(K), Λn(K) (matrici scalari), Dn(K) (matrici diagonali), T+n(K) (triangolari superiori), On(K) (ortogonali). Il gruppo dei quaternioni come sottogruppo di GL2(C). Il gruppo di Heisenberg.
    10. Lezioni 19 e 20 [11/10/10] Sottogruppi normali e quozienti di gruppi. Esempi e applicazioni. Omomorfimi di gruppi e prime proprietÓ.
    11. Lezioni 21 e 22 [13/10/10] Lezione annullata a causa della sospensione dell'attivitÓ didattica.
    12. Lezioni 23 e 24 [15/10/10] Omomorfismi di gruppi e loro proprietÓ. Nucleo e Immagine di un omomorfismo Esempi e proprietÓ. Definizione del gruppo diedrale D4 come sottogruppo di S4. ProprietÓ del gruppo diedrale.
    13. Lezioni 25 e 26 [18/10/10] Ancora sul gruppo diedrale D4. Il gruppo Dn. Ancora sul nucleo e l'immagine di un omomorfismo. Il Teorema fondamentale di Omomorfismo. Il Teorema di Corrispondeza tra sottogruppi in un omomorfismo. Il secondo e terzo teorema di omomorfismo (senza dimostrazioni).
    14. Lezioni 27 e 28 [20/10/10](esercitazione) Esercizi su sottogruppi normali, gruppi quoziente e centro di un gruppo.
    15. Lezioni 29 e 30 [22/10/10] Il gruppo degli automorfismi di un gruppo. Automorfismi interni. G/Z(G) ≅ Inn(G). Esempi: il gruppo degli automorfismi di Zn. Il gruppo degli automorfismi di Sn. Il Teorema di Cayley e suoi corollari. Esempi e applicazioni. Prodotti di gruppi.
    16. Lezioni 31 e 32 [25/10/10] Ancora sui prodotti di gruppi. Classificazione dei gruppi ciclici. Proprietà dei gruppi ciclici. Esempi. Enunciato del Teorema di Classificazione dei gruppi abeliani finiti.
    17. Lezioni 33 e 34 [27/10/10](esercitazione) esercizi su omomorfismi ed automorfismi. Se G e G' sono gruppi abeliani Hom(G,G') e' un gruppo rispetto alla somma puntuale. Dati n ed m interi positivi |Hom(Zn,Zm)| = d = gcd(m,n). Automorfismi interni di Dn. Un automorfismo esterno del gruppo di Klein. I gruppi abeliani di ordine 180.
    18. Lezioni 35 e 36 [29/10/10] (esercitazione) Esercizi vari e soluzione del compito di metÓ semestra del corso di AL2 dell'AA 2009/2010.
    19. COMPITO [02/11/10] Prima prova in Itinere ore 9:30
    20. Lezioni 37 e 38 [10/11/10] Correzione prima prova in itinere.
    21. Lezioni 39 e 40 [12/11/10] Definizione di Anello. Annelli unitari, commutativi, integri, domini, corpi e campi. Esempi. Divisori dello zero e elementi cancellabili, elementi nilpotenti, elementi invertibili. Quaternioni di Hamilton (inizio).
    22. Lezioni 41 e 42 [15/11/10] Ancora sui quatrenioni. I quaternioni son un corpo non commutativo. La nozione di sottoanello. Esempi. La nozione di ideale DX, SX e bilatero.
    23. Lezioni 43 e 44 [17/10/10](esercitazione) Esercizi su anelli, sottoanelli ed ideali. Un sottoanello di un anello non unitario puo' essere unitario. La somma di ideali destri (risp., sinistri) e' un ideale destro (risp., sinistro). Sottoanelli di C del tipo Z[\sqrt{d}], elementi invertibili di Z[\sqrt{d}]. L'anello A^S delle applicazioni di un insieme non vuoto S in un anello A: studio della commutativita', esistenza dell'unita' ed integrita'.
    24. Lezioni 45 e 46 [19/11/10] Ancora sugli ideali. Ideli e sottoanelli. Intersezione e unione di ideali. L'ideale (SX, DX o bilatero) generato da un sottoinsieme. Anelli a ideali principali. Anelli senza ideal e campi. Corpi senza ideali. La nozione di anello quoziente. Ideali primi a massimali (inizio).
    25. Lezioni 47 e 48 [22/11/10] Dimostrazione dei teoremi di caratterizzazione per ideali primi e massimali in anelli commutativi unitari. Lemma di Zorn. Il teorema di Krull sull'esistenza di ideali massimali in anelli commutativi unitari. Definizione di anello locale. Definizione e prime proprieta' degli omomorfismi di anelli.
    26. Lezioni 49 e 50 [24/10/10] Teorema di corrispondenza. Primo, secondo e terzo teorema di omomorfismo di anelli.
    27. Lezioni 51 e 52 [26/11/10] (esercitazione) Esercizi su ideali primi e massimali. Esercizi su omomorfismi di anelli.
    28. Lezioni 53 e 54 [29/11/10] Ogni anello pu˛ essere immerso in un anello unitario. La nozione di campo dei quozienti. Esistenza e unicitÓ del campo dei quozienti.
    29. Lezioni 55 e 56 [01/12/10] Ancora proprietÓ dei campi dei quozienti. Estenzioni semplici. Definizione di anello dei polinomi. Esempi. Esistenza e unicitÓ dell'enello dei polinomi di qualsiasi anello unitario. Esempi e applicazioni.
    30. Lezioni 57 e 58 [03/12/10] Ancora sugli anelli di polinomi. In grado di un polinomio, polinomi monici, proprietÓ del grado. Divisione tra polinomi. DivisibilitÓ in un anello. Elementi primi e irriducibili. Anelli a fattorizzazione unica.
    31. Lezioni 59 e 60 [06/12/10] Ancora sugli anelli a fattorizzazione unica. Ogni irriducibile Ŕ primo ProprietÓ varie degli anelli a fattorizzazione unica. Domini euclidei e loro proprietÓ. Ogni dominio euclideo Ŕ a fattorizzazione unica. L'anello dei polinomi a coefficienti in un campo Ŕ Euclideo.
    32. Lezioni 59 e 60 [06/12/10] (esercitazione): Esercizi su domini euclidei e domini principali. (esercitazione)
    33. [10/12/10] LEZIONE ANNULLATA
    34. Lezioni 61 e 62 [13/12/10] Caratterizzazione degli anelli a fattorizzazione unica in termini delle catene ascendenti di ideali principali. Massimo comun divisore in un UFD. Ogni PID Ŕ un UFD.
    35. Lezioni 63 e 64 [15/12/10] Domini principali. Ideali primi ed elementi primi. Ideali massimali ed elementi irriducibili nei PID. Ancora sugli anelli Euclidei. Gli interi di Gauss sono un dominio Euclideo. Primi come somma di due quadrati.
    36. Lezioni 65 e 66 [17/12/10]
    37. Lezioni 67 e 68 [20/12/10] IrriducibilitÓ dei polinomi a coefficienti in un dominio fattoriale. L'anello dei polinomi a coefficienti in un dominio fattoriale Ŕ fattoriale. Criterio di irriducibilitÓ di Eisenstein per A[X] con A dominio principale.
    38. Lezioni 69 e 70 [20/12/10] Esercizi di preparazione alla seconda prova di esonero.
    39. Lezioni 71 e 72 [22/12/10] Esercizi vari sugli anelli tratti dal capitolo 11 del libro di testo.


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    Tutorato/Esercizi:

    1. Tutorato 1: 27 Settembre 2010
    2. Tutorato 2: 4 Ottobre 2010
    3. Tutorato 3: 11 Ottobre 2010
    4. Tutorato 4: 18 Ottobre 2010
    5. Tutorato 5: 25 Ottobre 2010
    6. Tutorato 6: 29 Novembre 2010
    7. Tutorato 7: 15 Novembre 2010
    8. Tutorato 8: 22 Novembre 2010
    9. Tutorato 9: 29 Novembre 2010
    10. Tutorato 10: 13 Dicembre 2010
    11. Tutorato 11: 4 Gennaio 2010
    12. Tutorato 12: 4 Gennaio 2010


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    Esoneri/Esami:

  • Appello C
  • Appello X
    RISULTATI DELL'APPELLO X (16 Set 11):
    Matricola 1 2 3 4 5 6 7 8 TOT.
    247386 1 0 0 4 2 3 4 0 15
    277725 3 3 2 4 1 4 4 0 21
    416840 3 4 4 4 4 3 4 4 30
    406074 4 2 4 3 4 3 1 0 21
    404167 4 4 2 4 3 3 4 0 24
    418724 4 1 4 2 4 3 1 0 19
    417767 3 3 2 4 1 3 4 0 20
    245211 1 0 2 1 0 0 1 0 INS
    100483 0 0 0 4 0 1 4 0 INS
    443361 1 0 1 3 0 1 0 0 INS
    417372 3 0 4 1 3 3 1 0 INS
  • Appello B - 23 Febbraio 2011
    RISULTATI DELL'APPELLO B (23 Feb11):
    Matricola 1 2 3 4 5 6 7 8 TOT
    236075 2 1 0 0 0 0 4 0 INS
    443301 2 2 0 0 2 0 3 0 INS
    259767 4 0 1 0 0 0 3 1 INS
    247386 4 1 0 0 0 0 1 3 INS
    429578 2 1 1 0 0 4 1 0 INS
    277761 3 1 1 3 1 1 1 0 INS
    406167 2 1 2 0 0 2 3 1 INS
    428657 3 1 3 1 0 2 1 2 INS
    264086 3 0 0 4 0 3 3 1 INS
    427639 2 2 3 0 4 1 3 1 INS
    406874 2 1 3 0 3 3 3 1 INS
    418724 4 1 4 4 1 1 0 2 INS
    427834 3 4 3 0 2 2 4 2 20
    406074 4 1 0 0 4 3 4 4 20
    405845 2 1 4 4 2 2 2 3 20
    418319 3 2 2 0 3 3 4 4 21
    407346 4 4 3 4 2 1 4 2 24
    406418 3 1 4 4 4 2 4 3 25
    431291 4 1 4 3 4 4 2 3 25
  • Appello A - 11 Gennaio 2011
    RISULTATI DELL'APPELLO A (11 GEN11):
    Matricola 1 2 3 4 5 6 7 8 TOT
    428447 3 3 0 0 4 4 3 1 18
    408292 2 2 0 0 3 3 4 4 18
    429582 3 3 3 2 1 0 3 3 18
    431291 2 3 3 3 1 3 4 0 19
    RM71273155 3 3 0 4 4 0 3 4 21
    138460 4 3 1 4 2 2 4 3 23
    428445 3 3 4 4 3 4 4 4 29
    428657 3 2 0 2 2 2 4 0 INS
    427639 1 1 0 0 3 0 2 0 INS
    259767 1 0 0 0 2 0 1 1 INS
    406874 3 0 0 0 2 4 3 0 INS
    406074 1 3 0 2 0 3 4 0 INS
    418319 RIT
  • Seconda prova in itinere -
    RISULTATI DELLA SECONDA PROVA IN ITINERE (7 GEN11):
    Matricola 1 2 3 4 5 6 7 8 TOT I PROVA
    RM7002158K ASS 15
    406074 ASS 15
    277725 ASS 15
    428447 ASS 16
    431291 ASS 21
    427333 4 4 4 4 4 4 4 4 32 27
    426773 3 3 4 4 4 4 3 4 29 15
    489231 3 4 4 4 3 3 4 4 29 17
    427835 4 4 4 4 3 2 4 4 29 28
    432072 3 4 2 4 3 4 4 3 27 19
    420680 2 3 2 3 4 4 2 4 24 20
    428866 3 4 4 4 3 2 0 4 24 20
    280883 3 4 3 3,5 3 1 4 2 23,5 15
    418564 3 4 2 3 4 2 2 3 23 15
    415716 2 2 2 4 3 4 2 4 23 16
    247386 3 1 4 4 0 1 2 0 INS 18
    406418 2 4 0 4 1 2 0 0 INS 19
  • Prima prova in itinere - 2 Novembre 2009
    RISULTATI DELLA PRIMA PROVA IN ITINERE (2 NOV09):
    Matricola 1 2 3 4 5 6 7 8 TOT
    418564 1 4 2 0 3 4 0 1 15
    280883 4 0 1 2 4 3 0 1 15
    RM7002158K 4 2 2 0 3 4 0 0 15
    406074 3 3 0 1 4 2 1 1 15
    277725 0 2 2 2 4 4 0 1 15
    426773 1 0 2 2 4 4 2 0 15
    428447 3 0 3 4 4 0 0 2 16
    415716 2 2 4 1 4 2 0 1 16
    489231 3 0 1 4 4 4 1 0 17
    247386 4 4 0 1 0 4 1 4 18
    420680 2 3 4 1 4 4 0 2 20
    432072 2 0 3 4 3 4 2 1 19
    406418 3 4 4 1 2 4 0 1 19
    428866 2 4 0 3 4 2 4 1 20
    431291 4 3 3 3 2 4 2 0 21
    427333 3 4 4 4 4 4 3 1 27
    427835 3 4 4 4 4 4 2 3 28
    416835 3 0 2 0 4 3 0 1 INS
    418000 1 0 4 0 1 1 1 2 INS
    408698 3 2 3 0 1 3 0 0 INS
    428445 0 0 0 2 4 4 2 0 INS
    427639 3 0 0 0 0 1 0 2 INS
    119557 1 0 4 2 0 1 0 0 INS
    428657 0 0 2 0 4 4 0 0 INS
    AK 1282735 0 0 1 0 0 0 0 0 INS
    406167 2 4 0 1 0 0 0 0 INS
    418084 0 0 0 0 0 0 0 1 INS
    264086 1 0 3 1 2 4 0 0 INS
    259767 0 1 1 0 0 0 0 0 INS
    277761 2 0 4 4 1 1 0 1 INS
    416959 1 0 1 0 0 4 0 1 INS
    138460 3 1 4 0 0 4 2 0 INS
    408292 1 4 1 4 0 1 0 2 INS
    427231 0 0 3 0 0 2 0 0 INS
    ?? 3 4 0 4 0 0 0 0 INS
    417668 2 1 3 0 0 1 0 0 INS
    418724 1 1 0 0 0 3 0 0 INS
    406874 0 0 0 0 2 4 0 1 INS
    417767 0 0 1 0 0 0 0 1 INS
    407916 1 1 2 0 0 0 1 0 INS
    407346 1 4 0 2 0 3 0 0 INS


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    • D. Dikranjan, M. S. Lucido, Aritmetica e Algebra. Liguori Editore 2007
    • I. N. Hernstein, Algebra. Editori Riuniti 1988
    • M. Fontana, S. Gabelli, Esercizi di Algebra. Aracne, (1993).
    • M. Fontana, Appunti sui primi rudimenti di teoria dei gruppi e teoria degli anelli.
    • G.M. Piacentini Cattaneo, Algebra, un approccio algoritmico. Decibel - Zanichelli, (1996).
    • R.B.J. Allenby, Rings, fields and groups. E. Arnold, Hodder & Staughton, (1991).
    • M. Artin, Algebra. Prentice - Hall, (1991).
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