AL310 - Istituzioni di Algebra Superiore:
Teoria delle equazioni

Docenti	Filippo Tolli	Francesco Pappalardi
Ricevimento	TBA	Lunedì 11 - 12
Ufficio	209
Telefono	06 5733 8247	06 5733 8008
E-mail	filippo dot tolli at uniroma3.it	pappa at mat.uniroma3.it
	Lezioni:	Lunedì 12 - 14 (Aula M3) Mercoledì 10 - 12 (Aula M3) Giovedì 12 - 14 (Aula M3)
DESCRIZIONE DEL CORSO

1. [21/02/22] Presentazione del Corso. Formule di Cardano per le equazioni di terzo grado. Prerequisiti: Anelli, sottoanelli, ideali, omomorfismi, quozienti, PID, polinomi, .... Teorema Fondamentale di Omomorfismo per anelli. (pagine 7-9 delle note di Milne)
2. [23/02/22] Polinomi. Fattorizzazione di polinomi. (pagine 9-13 delle note di Milne) Inoltre cenni sulle funzioni simmetriche elementari (pagina 75 Milne)
3. [28/02/22] Algoritmo per la fattorizzazione dei polinomi. Estensioni di Campi, sottoanelli generati da insiemi e sottocampi generati da insiemi, (pagine 13-15 delle note di Milne)
4. [02/03/22] grado di un estensione. Teorema del grado. sottocampi e sottoanelli generati da sottoinsiemi. (pagine 13-16 delle note di Milne)
5. [03/03/22] ancora sui sottoanelli e sottocampi generati da insiemi. Estensioni semplici, composto di campi, costruzione di campi mediante polinomi irriducibili, campi con il gambo. Elementi algebrici e trascendenti, estensioni trascendenti. proprietà dei numeri algebrici e di quelli trascendenti. Morfismo di valutazione. proprietà del polinomio minimo. estensioni finite vs estensioni algebriche e finitamente generate. (pagine 14-18 delle note di Milne) Storia della trascendenza. Numerabilità dei numeri algebrici. Quasi tutti i numeri reali sono trascendenti. (pagine 19-20 delle note di Milne)
6. [07/03/22] La trascendenza dei numeri di Liuville. Esempi estesi sui campi ciclotomici primi. Campo del coseno. (pagine 21 e 24 delle note di Milne)
   1. [09/03/22] Esercitazione tenuta dal Professor Tolli
7. [10/03/22] Campi Algebricamente chiusi, F-omomorfismi di estensione semplici, estenione di F-omomorfismi (pagine 24-25 e 27-28 delle note di Milne).
8. [14/03/22] Campi di spezzamento e loro esistenza. Proprietà dei campi di spezzamento (pagine 28 e 30 delle note di Milne).
9. [16/03/22] Esercizi dal Tutorato 1 del 2018

• [17/03/22] LEZIONE ANNULLATA

10. [21/03/22] Radici multiple di polinomi, polinomi separabili, esempi di polinomi inseparabili. (pagine 31 e 32 delle note di Milne). Ancora esercizi (dagli esami di anni passati).
    2. [23/03/22] Esercitazione tenuta dal Professor Tolli
11. [24/03/22] polinomi separabili, estensioni separabili e campi perfetti
12. [28/03/22] Campi perfetti (fine). Gruppi di Automorfismi di campi (pagine 32-37 delle note di Milne). Il gruppo degli Automorfismi di un campo di spezzamento di un polinomio separabile.
13. [30/03/22] Esercizi svolti dalle prime prove in itinere degli anni passati
14. [31/03/22] Definizione di Estensione di Galois e primi esempi. Esercizi svolti dalle prime prove in itinere degli anni passati
15. [04/04/22] Estensioni di Galois. Caratterizzazioni delle Estensioni di Galois. Esercizi svolti dalle prime prove in itinere degli anni passati.
    3. [06/04/22] Esercitazione tenuta dal Professor Tolli con lo svolgimento di esercizi scelti dalle prime prove in itinere degli anni passati.
16. [07/04/22] Alcune Proprietà delle Estensioni di Galois. Esercizi svolti dalle prime prove in itinere degli anni passati.
17. [11/04/22] Prima Prova in Itinere 14:00-17:00 Aula M1
18. [27/04/22] correzione della prima prova in itinere
19. [28/04/22] Enunciato e Dimostrazione del Teorema Fondamentale della corrispondenza di Galois. Esempi, applicazioni. (pagine 41-44 delle note di Milne)
20. [02/05/22] Esempi e applicazioni del Teorema Fondamentale della corrispondenza di Galois. Esempi di reticoli di sottocampi. Numeri costruibili ed estensioni di Galois.
21. [04/05/22] Gruppi di Galois come gruppi di permutazioni. Gruppi transitivi e polinomi irriducibili. Gruppi di Galois di permutazioni pari.
22. [05/05/22] Permutazioni pari e sottocampo generato dalla radice quadrata del discriminante. Esempi. Gruppi risolubili e estensioni risolubili. Enunciato del Teorema di Galois sulla risolubilità dei polinomi. La definizione di discriminante. Proprietà del discriminante. Gruppi di Galois di polinomi di grado 2 e 3.
23. [09/05/22] ancora sul Discriminante di un polinomio. formula per il discriminante in termini della derivata del polinomio. Discriminanti di polinomi di grado 2 e 3.
24. [11/05/22] Gruppi di Galois e radici di polinomi di grado tre. Polinomi di grado quattro. Risolvente cubica. Esempi di polinomi di grado quattro con tutti i possibili gruppi di Galois. Problema inverso di Galois (enunciato). Polinomi aventi gruppo di Galois isomorfo a S_p.
25. [12/05/22] Campi finiti. Teorema dell'elemento primitivo.
    4. [16/05/22] lezione tenuta dal Professor Tolli: Paragrafi 11.1 e 11.2 del libro di S. Gabelli
    5. [18/05/22] lezione tenuta dal Professor Tolli: solo enunciato Corollario 11.3; paragrafi 11.4. 11.5 del libro di S. Gabelli
    6. [19/05/22] lezione tenuta dal Professor Tolli: Esercizi
26. [23/05/22] Inizio svolgimento della seconda prova in Itinere di un anno passato
27. [26/05/22] Campi ciclotomici e irridicibilità dei polinomi ciclotomici. Fine svolgimento della seconda prova in Itinere di un anno passato
28. [30/05/22] ancora sui Campi ciclotomici. Dimostrazione del Teorema Fondamentale dell'Algebra usando la Teoria di Galois. Esercizi svolti dagli esami degli anni passati
29. [01/06/22] Esercizi svolti dagli esami degli anni passati.
30. [10/06/22] Seconda Prova in Itinere 14:00-17:00 Aula M4

1. Esame di fine semestre 10/06/2022, 14-16
2. Esame di metà semestre 11/04/2022, ore 14-16