PRIMO COMPITO
PRIMO COMPITO Analisi due (Primo modulo) - Corso di Laurea in FISICA Giovedì 7 Gennaio, 1999
LEGGERE ATTENTAMENTE:
Il presente esame consiste di 10 esercizi. Ogni esercizio
vale 10 punti su 100.
Il compito non sarà sufficiente se non si risolve almeno
un esercizio del gruppo 1. 2. 3., almeno
uno del gruppo 4. 5. 6. e almeno uno del gruppo 7. 8. 9. 10.
Non sono ammessi appunti, calcolatrici,
libri, tavole di integrali e telefoni cellulari.
Il tempo concesso per svolgere il compito è di 3 ore.
Per la brutta copia è consentito utilizzare
esclusivamente fogli consegnati dal docente.
Tutti gli effetti personali, compresi borse e cappotti, devono
essere lasciati accanto agli attaccapanni (ad eccezione della penna!).
Non è consentito consegnare altri fogli oltre agli 11 (undici)
del presente fascicolo.
Scrivere a penna e tenere il libretto (o un altro documento) sul banco per
il riconoscimento.
Non è consentito parlare o comunicare in nessun modo, pena
il ritiro immediato del compito.
ESERCIZIO
PUNTI
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
TOTALE
/100
Si trovi la soluzione generale della seguente equazione:
y¢¢-y¢-2y = 2e-x.
SVOLGIMENTO:
Si risolva il seguente problema di Cauchy:
ì ï ï í
ï ï î
y¢y¢¢ = 2
y(0) = 1
y¢(0) = 2
SVOLGIMENTO:
Si calcoli eA dove
A =
æ ç
è
-11
-3
36
10
ö ÷
ø
.
SVOLGIMENTO:
Sia
A = {(x,y) Î R2 | x Î [-1,1) y Î (-1,1]}
Ç
{(x,y) Î R2 | x2+y2 ³ 1}.
Dopo aver tracciato la figura di A, se ne determini
l'interno, la chiusura, la frontiera e il derivato.
SVOLGIMENTO:
Si dimostri che il seguente sottoinsieme di R2 è denso in R2.
S = {(x,y) Î R2 t.c. y+x\not Î Z}.
Si dimostri che il complementare di S non è discreto.
SVOLGIMENTO:
Si discuta la continuità della seguente funzione
f:R2®R su tutti i punti di R2:
f(x,y) =
ì ï ï ï í
ï ï ï î
x|y|
y2+|x|
se (x,y) ¹ (0,0)
0
se (x,y) = (0,0)
SVOLGIMENTO:
Si calcoli il differenziale nel punto (1,1) della funzione
f(x,y) = sin
p(x2+y2)
8
.
Si trovi un punto (x0,y0) tale che df(x0,y0) = -[(p)/(Ö2)]dx.
SVOLGIMENTO:
Si calcoli l'equazione della quadrica tangente nel punto (0,[(p)/2])
della funzione f(x,y) = xcos(y+x).
SVOLGIMENTO:
Sia f(x,y) = arctan(y) arctan(x-1). Determinare i punti critici di
f e classificarli con il metodo della matrice Hessiania.