Esercizi di Topologia in Esercizi di Topologia in Rn (I)

1  Insiemi Aperti e Chiusi

Negli esercizi che seguono ``Si dimostri'' è da intendersi nel seguente modo: Fornire un argomento molto succinto, utilizzando anche figure, per convincere il lettore della verità dell'affermazione.

  1. Si dimostri che il rettangolo (a,b)×(c,d) Ì R2 è aperto in R2;
  2. Si dimostri che l'unione di una qualsiasi famiglia insiemi aperti in Rn è un insieme aperto;
  3. Si dimostri che l'intersezione di due insiemi aperti di Rn è un insieme aperto (Quindi lo stesso vale per un numero finito di insiemi aperti);
  4. Si dimostri che il complementare di un iperpiano a1x1+b2x2+¼+anxn = b in Rn è un insieme aperto;
  5. Si disegni il grafico dell'insieme {x = (x1,x2) Î R2 t.c. |x1| +|x2| < 1} e si dimostri che è un insieme aperto;
  6. Si dimostri che il disco chiuso [`D]r(x) = { z Î Rn t.c.  d(x,z) £ r} è un insieme chiuso;
  7. Si dimostri che il grafico di una funzione continua y = f(x) è un insieme chiuso di R2;
  8. Si dimostri che l'intersezione di una qualsiasi famiglia di insiemi chiusi di Rn è un insieme chiuso di Rn;
  9. Si dimostri che l'unione di due chiusi di Rn è un chiuso di Rn;
  10. Si dimostri che il rettangolo chiuso [a,b]×[c,d] Î R2 è un chiuso;
  11. Si dimostri che il rettangolo semichiuso (a,b]×[c,d) Î R2 non è aperto né chiuso;
  12. Si dimostri che il cilindro { (x1,x2,x3) Î R3 t.c. x12+x22 < 1} è un insieme aperto di R3;
  13. si dimostri che il disco ``sottile''
    { (x1,x2,x3) Î R3 t.c. x12+x22 < 1, x3 = 0}
    non è aperto né chiuso in R3;

2  Chiusura, Interno, Frontiera e Punti di Accumulazione

Per ciascuno dei seguenti insiemi, si tracci la figura dell' insieme e si determini la chiusura, l'interno, la frontiera e l'insieme dei punti di accumulazione nello spazio specificato:

  1. in R2, {(x,y) t.c. x2+y2 < 4, x ³ 1};
  2. in R2, Èn = 0¥ {(x,y) t.c. (x-n)2+y2 = 1/n};
  3. in R2,
    D1((0,0))È{(x,y) t.c. x ³ 0, x2+y2 = 1}È{(0,1),(-1,0),(2,0),(-2,0)};
  4. in R3,
    {(x1,x2,x3) t.c. x12+x22 < 1, x3 Î [-2,2]}È{(0,0,2),(1,0,2),(0,-1,2),(2,1,0)}
  5. in R3,
    {(x1,x2,x3) t.c. 1 < x12+x22+x32 £ 2}È{(x1,x2,x3) t.c. x1 = 0,x2 = 0}
  6. in R3,
    {(x1,x2,x3) t.c. x1+x2+x3 < 0}È{(1,1,-10),(3,3,-6),(1,1,1)}ÈZ3.

3  Sottoinsiemi Densi e Discreti

a. Si dimostri che i seguenti insiemi sono densi;
1. R×Q in R2;   2. Rn\{P1,¼,Ps} in Rn;   3. R2\{(x,y) t.c. x+y = 0 } in R2;
b. Si dimostri che i seguenti insiemi sono discreti;

  1. Ogni sottoinsieme finito di Rn;
  2. Za×Nn-a in Rn;
  3. Z×N×S (dove S è finito) in R3;

c. Si dimostri che il complementare di un insieme discreto è denso.

d. Si dimostri che non è vero che il complementare di un insieme denso è discreto;

e. Si dimostri che N×Q non è denso né discreto in R2.

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On 16 Nov 1998, 14:33.