A. Dopo averne tracciato il grafico, si dimostri che ciascuno dei seguenti insiemi non è compatto costruendo in ciascun caso un ricoprimento di dischi che non ammette un sottoricoprimento finito:

1. in R²:  {(x,y) t.c. |x|+|y| < 2};
2. in R³:   {(x₁,x₂,x₃) t.c. x₁²+x₂² = 1, x₃ Î (-2,2)};
3. in R²:   {(x,y) t.c. |x-y| < 1, x Î [-2,2]};
4. in R³:  {(x,y,z) t.c. 1 < x²+y²+z² £ 4};
5. in R³:  {(x,y,z) t.c. x²-y²-z² < 0, x Î [0,4]}.

B. Per ciascuna delle seguenti funzioni si tracci il grafico del dominio Dom(f) e si determinino:
l'interno Dom(f)^o, la frontiera ¶Dom(f), la chiusura [`(Dom(f))] e il derivato D(Dom(f)):

1. f(x,y) = Ö{^x/_y(x²+(y-3)²)};
2. f(x,y) = log(x²+(y-5)²);
3. f(x,y) = tan([(p)/2]xy);
4. f(x,y) = Ö{log(x²+3y²)};
5. f(x,y) = tan([(p)/ 2](x+y))+log(9-x²-y²)
6. f(x,y,z) = [1/( cos(x²+y²+z²))].

C. Si dimostri il seguente ``criterio di continuità in coordinate polari'':
Sia f:A® R una funzione dove (0,0) Î A^o Ì Rⁿ. Allora f è continua in (0,0) se e solo se per ogni e > 0 esiste d_e tale che se 0 < r < d_e allora |f(rcosq,rsinq)-f(0,0)| < e.
Si applichi questo criterio per studiare la continuità della seguente funzione al variare di a, b Î R.

D. Si discuta la continuità delle seguenti funzioni in (x,y) = (0,0):

1. f(x,y) = ì ï ï ï í ï ï ï î x3y4cos(1/x) (x2+y2)arctan(y2+x6+1)  if (x,y) ¹ (0,0) 0  if (x,y) = (0,0)

2. f(x,y) = ì ï ï ï í ï ï ï î x3y4 (x6+y6)  if (x,y) ¹ (0,0) 0  if (x,y) = (0,0)

3. f(x,y) = ì ï ï ï í ï ï ï î x2y4 x2+y6  if (x,y) ¹ (0,0) 0  if (x,y) = (0,0)

4. f(x,y) = ì ï ï ï í ï ï ï î x3+y3 x+y  if x+y ¹ 0 0  if x+y = 0

5. f(x,y) = ì ï ï ï í ï ï ï î xysin(x+y) p-2arctan(y/x)  if x ¹ 0 0  if x = 0