Esercizi di Topologia in Esercizi di Topologia in Rn (II)





A. Dopo averne tracciato il grafico, si dimostri che ciascuno dei seguenti insiemi non è compatto costruendo in ciascun caso un ricoprimento di dischi che non ammette un sottoricoprimento finito:

  1. in R2:  {(x,y) t.c. |x|+|y| < 2};
  2. in R3:   {(x1,x2,x3) t.c. x12+x22 = 1, x3 (-2,2)};
  3. in R2:   {(x,y) t.c. |x-y| < 1, x [-2,2]};
  4. in R3:  {(x,y,z) t.c. 1 < x2+y2+z2 4};
  5. in R3:  {(x,y,z) t.c. x2-y2-z2 < 0, x [0,4]}.



B. Per ciascuna delle seguenti funzioni si tracci il grafico del dominio Dom(f) e si determinino:
l'interno Dom(f)o, la frontiera Dom(f), la chiusura [`(Dom(f))] e il derivato D(Dom(f)):


  1. f(x,y) = {x/y(x2+(y-3)2)};
  2. f(x,y) = log(x2+(y-5)2);
  3. f(x,y) = tan([(p)/2]xy);
  4. f(x,y) = {log(x2+3y2)};
  5. f(x,y) = tan([(p)/ 2](x+y))+log(9-x2-y2)
  6. f(x,y,z) = [1/( cos(x2+y2+z2))].



C. Si dimostri il seguente ``criterio di continuità in coordinate polari'':
Sia f:A R una funzione dove (0,0) Ao Rn. Allora f è continua in (0,0) se e solo se per ogni e > 0 esiste de tale che se 0 < r < de allora |f(rcosq,rsinq)-f(0,0)| < e.
Si applichi questo criterio per studiare la continuità della seguente funzione al variare di a, b R.

f(x,y) =







xa yb
(x2+y2)arctan(y2+1)
 if (x,y) (0,0)
0
 if (x,y) = (0,0)



D. Si discuta la continuità delle seguenti funzioni in (x,y) = (0,0):

  1. f(x,y) =







    x3y4cos(1/x)
    (x2+y2)arctan(y2+x6+1)
     if (x,y) (0,0)
    0
     if (x,y) = (0,0)
  2. f(x,y) =







    x3y4
    (x6+y6)
     if (x,y) (0,0)
    0
     if (x,y) = (0,0)
  3. f(x,y) =







    x2y4
    x2+y6
     if (x,y) (0,0)
    0
     if (x,y) = (0,0)
  4. f(x,y) =







    x3+y3
    x+y
     if x+y 0
    0
     if x+y = 0
  5. f(x,y) =







    xysin(x+y)
    p-2arctan(y/x)
     if x 0
    0
     if x = 0


File translated from TEX by TTH, version 1.94.
On 16 Nov 1998, 14:33.