ESERCIZI SULLE DERIVATE PARZIALI (I). ESERCIZI SULLE DERIVATE PARZIALI (I).





  1. Si calcolino tutte le derivate parziali delle seguenti funzioni:
    x(yz), (xy)z.
  2. Per ciascuna delle seguenti funzioni, si calcoli (se esiste):

    1. Il gradiente Ñf(x0,y0);
    2. Il differenziale df(x1,y1);
    3. La derivata direzionale [(f)/( (v1,v2))] nel generico punto (x,y);
    4. L'equazione del piano tangente alla superficie z = f(x,y) nel punto (x2,y2,f(x2,y2)).

    f(x,y) (x0,y0) (x1,y1) (x2,y2) (v1,v2)
    i sin(xy) (1,0) ([(p)/2],1) (7,[(p)/ 7]) (3,2)
    ii log(x2+y2) (1,1) (-1,0) (2,1) (2,-1)
    iii ex+2y (0,0) (1,0)(2,-1)(1,-3)
    iv tan(x3y) (1,[(p)/ 4]) (1,2) (1,1) (1,-3)
    v [(x+y)/( x4+y4+1)] (1,-1)(0,1)(-2,1)(5,2)
    vi arctanx/y(-1,1)(Ö3,1)(0,1)(3,4)
    vii log(cos(x+y)) ([(p)/ 8],[(p)/ 8])(0,[(p)/4])([(p)/3]-1,1)(2,0)
    viii [cosx/ y] ([(p)/3],1)(0,1)([(p)/3],2)(1,-1)
    ix e[(x+y)/( x+1)] (1,2)(-1,2)(1,0)(0,3)
    x Ö{y2+cos2(x)}([(p)/3],1)([(p)/2],0)(0,2)(-1,-4)

  3. Per ciascuna delle seguenti, si calcoli la derivata [d h/ d t](t0) dove h(t) = f(l(t)) usando la regola di derivazione delle funzioni composte:

    f(x,y) l(t) = (l1(t),l2(t)) t0
    i x3+y3+1 (tcost,tsint) 3
    ii ex+y (t3,log(t2+1)) 2
    iii 3x2+3y2 (cos2t,sin2t) 100

  4. Si determinino le derivate parziali di f(x,y) = g(h(x,y)) (usando la regola di derivazione delle funzioni composte) dove

    1. h(x,y) = (3x2+cos(xy), y+2x3),   g(s,t) = escost;
    2. h(x,y) = ([x/( y+1)], siny, cosy),   g(r,s,t) = r2+s2+t2;
    3. h(x,y) = (xy,ycosx,xlogy,y),   g(r,s,t,u) = logsr+costu+s+t;

  5. Si derminino tutti i punti di R2 per cui almeno una delle derivate direzionali della seguente funzione è non zero:
    f(x,y) = ì
    í
    î
    0
    se x ¹ y
    x
    x = y
    Dimostrare che in (0,0), f è continua, ha tutte le derivate direzionali ma non è differenziabile.
  6. Si determini il luogo dei punti di R2 per cui l'angolo tra il vettore (3,-1) e il gradiente della funzione f(x,y) = x6y+3 è pari a p/6 radianti.
  7. Si determinino i punti stazionari delle seguenti funzioni:

    1. f(x,y) = x2+(y-1)3;
    2. f(x,y) = xy3+y;
    3. f(x,y,z) = (x-1)3+(y-2)2+cosz.

  8. Si risolvano le seguenti equazioni differenziali usando il metodo (se possibile) dei differenziali esatti

    1. (3x2ex3+y2+y2)dx+(2yex3+y2+2xy)dy = 0;
    2. (1+2xex2+y)dx+(ex2+y-siny)dy = 0

    3. (y+[(3x2)/( 2[Ö(x3+y3+1)])])dx+(x+[(3y2)/(2[Ö(x3+y3+1)])])dy = 0

    4. (3x2+[2x/( x2+y2)])dx+([2y/( x2+y2)]+[1/(1+y2)])dy = 0

  9. Si calcoli la matrice Hessiana in un generico punto delle seguenti funzioni:

    1. f(x,y) = x3y+cos(y2+x);
    2. f(x,y,z) = ||(x,y,z)|| = [Ö(x2+y2+z2)];
    3. f(x,y,z) = log(x2+y2+1);
    4. f(x,y) = arctan(x2+2y+1);
    5. f(x,y) = e[(x+y)/( x-y)].

File translated from TEX by TTH, version 1.94.
On 16 Nov 1998, 14:33.