COMPITO FINALE COMPITO FINALE
Analisi due (Primo modulo) - Corso di Laurea in FISICA
Sabato 23 Dicembre, 1998

LEGGERE ATTENTAMENTE:

ESERCIZIO PUNTI
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
TOTALE /100
VOTO/30

  1. Si Calcoli il polinomio di Taylor intorno a (0,0) di grado 20 della seguente funzione:
    f(x,y) = ln(1+x4y3)+arctan(x6y4).

    SVOLGIMENTO:
  2. Si scriva il polinomio di Taylor di grado due intorno al punto 0 della funzione y = f(x) definita implicitamente da


    x3y+y3-cosx = 0
    f(0) = 1

    SVOLGIMENTO:
  3. Sia
    f(x,y,z) =




    xz
    y2+x+1
    xyz+1





    .
    Dopo aver verificato che f è invertibile in (1,0,1), si scriva la matrice Jacobiana nel punto (1,2,1) della funzione inversa.
    (Suggerimento: (1,2,1) = f(1,0,1).)


    SVOLGIMENTO:

  4. Si calcoli la lunghezza della curva associata alla seguente rappresentazione parametrica:
    x(t) = (2t,lnt,t2), t [1,10].

    SVOLGIMENTO:
  5. Si calcoli l'equazione del piano tangente e quella della retta normale alla superficie:
    x4+3y3-4z6 = 0
    nel punto P = (1,1,1). Si dica inoltre rispetto a quale delle tre variabili si può applicare il teorema della funzione implicita nel punto P e si calcoli il gradiente delle funzioni così definite.


    SVOLGIMENTO:

  6. Si calcoli il seguente integrale:




    D 
    x2+y2
    dove D è il dominio limitato dalle parabole y = x2 e x = y2.


    SVOLGIMENTO:

  7. Si calcoli il seguente integrale





    W 
    1
      ___________
    x2+y2+(z-2)2
     
    dove W è la sfera x2+y2+z2 1.


    SVOLGIMENTO:

  8. Si calcoli l'area della superficie del solido ottenuto ruotando intorno all'asse y la curva associata alla rappresentazione
    (x(t),y(t)) = (t+1, 1
    2
    t2+t)   con   t [0,4].


    SVOLGIMENTO:

  9. Si verifichi se il seguente campo è conservativo e si calcoli il lavoro compiuto dal campo lungo la traiettoria C
    f(x,y,z) =

    1
    z
    , -3
    z
    , 3y-x+z3
    z2


    C =





    x(t) = t
    y(t) = t2
    z(t) = t-1
    t [2,4]
    (Suggerimento: Provare a calcolare un potenziale)


    SVOLGIMENTO:

  10. Si utilizzi il Teorema di Green per calcolare l'area racchiusa all'interno della curva piana associata alla rappresentazione parametrica
    x(t) = (acos3 t ,asin3 t),   t [0,2p]
    mediante un integrale curvilineo.


    SVOLGIMENTO:


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On 23 Dec 1998, 14:33.