LEGGERE ATTENTAMENTE:

• Il presente esame consiste di 10 esercizi. Ogni esercizio vale 10 punti su 100.
• Non sono ammessi appunti, calcolatrici, libri, tavole di integrali e telefoni cellulari.
• Il tempo concesso per svolgere il compito è di 3 ore.
• Per la brutta copia è consentito utilizzare esclusivamente fogli consegnati dal docente.
• Tutti gli effetti personali, compresi borse e cappotti, devono essere lasciati accanto agli attaccapanni (ad eccezione della penna!).
• Non è consentito consegnare altri fogli oltre agli 11 (undici) del presente fascicolo.
• Scrivere a penna e tenere il libretto (o un altro documento) sul banco per il riconoscimento.
• Non è consentito parlare o comunicare in nessun modo, pena il ritiro immediato del compito.

1. Si Calcoli il polinomio di Taylor intorno a (0,0) di grado 20 della seguente funzione:

   f(x,y) = ln(1+x4y3)+arctan(x6y4).

   
   SVOLGIMENTO:
2. Si scriva il polinomio di Taylor di grado due intorno al punto 0 della funzione y = f(x) definita implicitamente da

   ì í î x3y+y3-cosx = 0 f(0) = 1

   
   SVOLGIMENTO:
3. Sia

   f(x,y,z) = æ ç ç ç ç è xz y2+x+1 xyz+1 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø .

   Dopo aver verificato che f è invertibile in (1,0,1), si scriva la matrice Jacobiana nel punto (1,2,1) della funzione inversa.
   (Suggerimento: (1,2,1) = f(1,0,1).)

   
   SVOLGIMENTO:

4. Si calcoli la lunghezza della curva associata alla seguente rappresentazione parametrica:

   x(t) = (2t,lnt,t2), t Î [1,10].

   
   SVOLGIMENTO:
5. Si calcoli l'equazione del piano tangente e quella della retta normale alla superficie:

   x4+3y3-4z6 = 0

   nel punto P = (1,1,1). Si dica inoltre rispetto a quale delle tre variabili si può applicare il teorema della funzione implicita nel punto P e si calcoli il gradiente delle funzioni così definite.

   
   SVOLGIMENTO:

6. Si calcoli il seguente integrale:

   ó õ ó õ D  x2+y2

   dove D è il dominio limitato dalle parabole y = x² e x = y².

   
   SVOLGIMENTO:

7. Si calcoli il seguente integrale

   ó õ ó õ ó õ W  1   ___________ Öx2+y2+(z-2)2

   dove W è la sfera x²+y²+z² £ 1.

   
   SVOLGIMENTO:

8. Si calcoli l'area della superficie del solido ottenuto ruotando intorno all'asse y la curva associata alla rappresentazione

   (x(t),y(t)) = (t+1, 1 2 t2+t)   con   t Î [0,4].

   
   SVOLGIMENTO:

9. Si verifichi se il seguente campo è conservativo e si calcoli il lavoro compiuto dal campo lungo la traiettoria C

   f(x,y,z) = æ ç è 1 z , -3 z , 3y-x+z3 z2 ö ÷ ø

   C = ì ï ï í ï ï î x(t) = t y(t) = t2 z(t) = t-1 t Î [2,4]

   (Suggerimento: Provare a calcolare un potenziale)

   
   SVOLGIMENTO:

10. Si utilizzi il Teorema di Green per calcolare l'area racchiusa all'interno della curva piana associata alla rappresentazione parametrica

    x(t) = (acos3 t ,asin3 t),   t Î [0,2p]

    mediante un integrale curvilineo.

    
    SVOLGIMENTO: