LEGGERE ATTENTAMENTE:

• Il presente esame consiste di 10 esercizi. Ogni esercizio vale 10 punti su 100.
• Il compito non sarà sufficiente se non si risolve almeno un esercizio del gruppo 1. 2. 3., almeno uno del gruppo 4. 5. 6. e almeno uno del gruppo 7. 8. 9. 10.
• Non sono ammessi appunti, calcolatrici, libri, tavole di integrali e telefoni cellulari.
• Il tempo concesso per svolgere il compito è di 3 ore.
• Per la brutta copia è consentito utilizzare esclusivamente fogli consegnati dal docente.
• Tutti gli effetti personali, compresi borse e cappotti, devono essere lasciati accanto agli attaccapanni (ad eccezione della penna!).
• Non è consentito consegnare altri fogli oltre agli 11 (undici) del presente fascicolo.
• Scrivere a penna e tenere il libretto (o un altro documento) sul banco per il riconoscimento.
• Non è consentito parlare o comunicare in nessun modo, pena il ritiro immediato del compito.

1. Si trovi la soluzione generale della seguente equazione:

   y¢¢¢-5y¢¢+7y¢-3y = 0

   
   SVOLGIMENTO:
2. Si risolva il seguente problema di Cauchy:

   ì ï ï í ï ï î y¢ = y x + x y y(1) = 1

   
   SVOLGIMENTO:
3. Si determini la soluzione generale del seguente sistema di equazioni differenziali e si classifichi il flusso associato allo spazio delle soluzioni:

   ì í î y1¢ = y1+3y2 y2¢ = -y1-y2

   
   SVOLGIMENTO:
4. Sia Dom(f) il dominio della funzione f(x,y) = Ö{e^-xy(y+2+x²)}. Dopo aver tracciato la figura di Dom(f), se ne determini l'interno, la chiusura, la frontiera e il derivato.
   
   SVOLGIMENTO:
5. Dopo averne tracciato la figura, si dimostri che il seguente sottoinsieme di R² non è compatto costruendo un ricoprimento di aperti che non ammette un sottoricoprimento finito.

   S = {(x,y) Î R2 t.c. y Î [0,2] e y > x2}

   
   SVOLGIMENTO:

6. Si discuta la continuità della seguente funzione f:R²®R:

   f(x,y) = ì ï ï ï í ï ï ï î xyarctanx y2+(arctanx)2 se  (x,y) ¹ (0,0) 0 se  (x,y) = (0,0)

   
   SVOLGIMENTO:
7. Si calcoli il differenziale e il piano tangente nel punto (1,1,eln2) della superficie di equazione z = e^xln(y+1).
   
   SVOLGIMENTO:
8. Si calcoli il polinomio di Taylor di grado tre intorno al punto (0,0) della funzione f(x,y) = ln(x+y+1).
   
   SVOLGIMENTO:
9. Sia f(x,y) = y³-3y+x³-12x. Determinare i punti critici di f e classificarli con il metodo della matrice Hessiania.
   
   SVOLGIMENTO:
10. Si risolva la seguente equazione differenziale:

    (cos(x+y)+cosx)dx+(cosy+cos(x+y))dy = 0

    
    SVOLGIMENTO: