COMPITO DI MET
COMPITO DI METÀ SEMESTRE Analisi due (Primo modulo) - Corso di Laurea in FISICA Sabato 21 Novembre, 1998
LEGGERE ATTENTAMENTE:
Il presente esame consiste di 10 esercizi. Ogni esercizio
vale 10 punti su 100.
Il compito non sarà sufficiente se non si risolve almeno
un esercizio del gruppo 1. 2. 3., almeno
uno del gruppo 4. 5. 6. e almeno uno del gruppo 7. 8. 9. 10.
Non sono ammessi appunti, calcolatrici,
libri, tavole di integrali e telefoni cellulari.
Il tempo concesso per svolgere il compito è di 3 ore.
Per la brutta copia è consentito utilizzare
esclusivamente fogli consegnati dal docente.
Tutti gli effetti personali, compresi borse e cappotti, devono
essere lasciati accanto agli attaccapanni (ad eccezione della penna!).
Non è consentito consegnare altri fogli oltre agli 11 (undici)
del presente fascicolo.
Scrivere a penna e tenere il libretto (o un altro documento) sul banco per
il riconoscimento.
Non è consentito parlare o comunicare in nessun modo, pena
il ritiro immediato del compito.
ESERCIZIO
PUNTEGGIO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
TOTALE
/100
VOTO
/30
Si trovi la soluzione generale della seguente equazione:
y¢¢¢+5y¢¢+7y¢+3y = 0
SVOLGIMENTO:
Si risolva il seguente problema di Cauchy:
ì ï ï í
ï ï î
y¢ =
y
x
-
x
y
y(1) = 2
SVOLGIMENTO:
Si determini la soluzione generale del seguente sistema di
equazioni differenziali e si classifichi il flusso associato allo spazio
delle soluzioni:
ì í
î
y1¢ = y1+2y2
y2¢ = -y1-y2
SVOLGIMENTO:
Sia Dom(f) il dominio della funzione
f(x,y) = Ö{exy(y+2-x2)}. Dopo aver tracciato la figura di Dom(f), se ne determini
l'interno, la chiusura, la frontiera e il derivato.
SVOLGIMENTO:
Dopo averne tracciato la figura, si dimostri che il seguente sottoinsieme
di R2 non è compatto costruendo un ricoprimento di aperti che non
ammette un sottoricoprimento finito.
S = {(x,y) Î R2 t.c. y Î [0,2] e y > x2}
SVOLGIMENTO:
Si discuta la continuità della seguente funzione
f:R2®R:
f(x,y) =
ì ï ï ï í
ï ï ï î
xyarctany
x2+(arctany)2
se (x,y) ¹ (0,0)
0
se (x,y) = (0,0)
SVOLGIMENTO:
Si calcoli il differenziale e il piano tangente nel punto (1,1,eln2)
della superficie di equazione z = exln(y+1).
SVOLGIMENTO:
Si calcoli il polinomio di Taylor di grado tre intorno al punto (0,0)
della funzione
f(x,y) = ln(x-y+1).
SVOLGIMENTO:
Sia f(x,y) = y3-3y-x3+12x. Determinare i punti critici di
f e classificarli con il metodo della matrice Hessiania.
SVOLGIMENTO:
Si risolva la seguente equazione differenziale:
(cos(x-y)+cosx)dx+(cosy-cos(x-y))dy = 0
SVOLGIMENTO:
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