Curve Ellittiche in Crittografia

• [02/03/2017] La soluzione degli esercizi del primo capitolo va consegnata entro venerdì 03 Marzo

1. Martedì [28/02/17]: Introduzione al corso, Il problema delle palle di cannone, il problema dei numeri congruenti, Soluzione dell'Ultimo Teorema di Fermat nel caso n=3,4 usando curve ellittiche.
2. Venerdì [03/03/17]: L'equazione di Weierstrass, L'equazione di Weierstrass generalizzata. Richiami sullo spazio proiettivo e sui polinomi omogenei, Il punto all'infinito di un'equazione di Weierstrass. La definizione della somma di punti su una curva ellittica, Formule per la somma di punti. La struttura del gruppo E(R) e E(C), enunciato del Teorema di struttura di E(F_q) e del Teorema di Hasse. La struttura del gruppo E(Q) e Enunciato del Teorema di Mordell-Weil.
3. Martedì [07/03/17]: Generalità sulla Teoria classica delle curve proiettive. Inomorfismi di equazioni di Weierstrass. Definizione di invariante j di una curva ellittica, curve ellittiche con invariante j = 0,1728, proprietà dell'invariante j.
4. Mercoledì [08/03/17]: Ancora proprietà degli isomorfismi di equazioni di Weierstrass. Proprietà del invariante j. Curve ellittiche in caratteristica 2,
5. Mercoledì [22/03/17]: Curve ellittiche in caratteristica 2, l'equazione di Weierstrass è singolare in caratteristica 2, i due tipi di equazioni di Weierstrass in caratteristica 2 (caso 1: y²+xy=x³+b₂x²+b₆, b₆≠ 0 e caso 2: y²+b₃y=x³+b₄x+b₆, b₃≠ 0), operazione sui punti di una curva definita da un'equazione di Weierstrass generalizzata, inversione di punti su un equazione di Weierstrass generalizzata, formule per la duplicazione di punti per le curve ellettiche in caratteristica due. Endomorfismi (inizio)
6. Venerdì [24/03/17]: Endomorfismi (continua). forma ridotta degli endomorfismi, grado degli endomorfismi, endomorfismi separabili, esempi. il nucleo degli endomorfismi vs il grado. esempi. Endomorfismo di Frobenius.
7. Martedì [28/03/17]: Proprietà degli endomorfismi. Criteri per la separabilità. Separabilità e endomorfismo di Frobenius, esempi.
8. Mercoledì [29/03/17]: Criteri di separabilità. Esempi.
9. Venerdì [31/03/17]: Il gruppo dei punti non singolari di un equazione di Weierstrass Singolare. Classificazione dei possibili gruppi. Riduzione additiva, moltiplicativa split e moltiplicativa non split. Esempi.
10. Martedì [04/04/17] mezza lezione: La struttura dei gruppi E[n] di n-torsione (inizio). Esempi: Calcolo della 2-torsione e della 3-torsione in tutti i casi.
11. Mercoledì [05/04/17]: Definizione dei polinomi di divisione e loro proprietà. Definizione dei polinomi di divisione ψ_m(x,y), φ_m(x,y) e ω_m(x,y), proprietà dei polinomi di divisione, enunciato del Teorema:[n](x,y)=(φ_n(x)/ψ_n²(x),ω_n(x,y)/ψ_n(x,y)³).
12. Mercoledì [19/04/17]: VT Accopiamento di Weil e sue proprietà. Conseguenze: Se E[n]⊆ E(K) allora K contiene tutte le radici n-esime dell'unità; congruenze per il grado di un endomorfismo; formula per il grado di una combinazione lineare di due endomorfismi.
13. Mercoledì [26/04/17] mezza lezione: La struttura dei gruppi E[n] di n-torsione. Inizio della dimostrazione del Teorema di Struttura: Data una curva ellittica E/K, se #E[n]=n² e n è coprimo con la caratteristica, allora E[n]≅ Z/nZ⊕Z/nZ. I Polinomi di divisione e l'endomorfismo [n]. Il grado dei polinomi di n-torsione. Altre proprietà. Calcolo del grado e dei coefficienti dei termini di grado massimo di φ_n(x) e ψ_n²(x). Riduzione al calcolo del grado della moltiplicazione per n.
14. Venerdì [28/04/17]: VT Definizione dell'accoppiamento di Tate-Licthenbaum. Divisori su una curva ellittica, omomorfismo grado e omomorfismo somma. Funzioni algebriche su una curva ellittica. Divisiore di una funzione algbrica (divisori principali). Isomorfismo (di gruppi) tra il quoziente del gruppo dei divisori di grado zero modulo i divisori principali e $E(\overline{mathbf K})$. Definizione dell'accopiamento di Weil.
15. Martedì [02/05/17]: Curve su campi finiti, esempi di curve: E: y² = x³+x+1 su F₇, E: y² = x³+2 su F₇, E: y² + xy + x³ +1 su F₂ e su F₄, Teorema di struttura per E(F_q), enunciato del Dimostrazione del Teorema di Hasse ( |#E(F_q)-(q+1)| ≤ 2√q ). Il polinomio caratteristico di Frobenius (X²-a_q(E) X + q) e le sue radici (α e β).
16. Mercoledì [03/05/17]: Proprietà dell'endomorfismo di Frobenius ( E(F_q^r)=Ker(F_q^r - 1)=deg( F_q^r - 1 ) ). Fine dimostrazione del Teorema di Hasse ( |#E(F_q)-(q+1)| ≤ 2√q).
17. Venerdì [05/05/17]: Ancora proprietà del Frobenius ( Φ_q soddisfa il suo polinomio caratteristico ). Calcolo del numero dei punti razionali di una curva ellittica su un campo finito, il metodo del sottocampo ( #E(F_qⁿ) = qⁿ + 1 + αⁿ + βⁿ ). Il metodo dei simboli di Legendre. Enunciato del Teorema di Waterhouse e di Ruck.
18. Martedì [09/05/17]: Altri metodi per determinare l'ordine del gruppo dei punti razionali.
19. Mercoledì [10/05/17]:
20. Venerdì [12/05/17]:
21. Martedì [16/05/17]:
22. Mercoledì [17/05/17]:
23. Venerdì [19/05/17]:
24. Martedì [23/05/17]:
25. Mercoledì [24/05/17]:
26. Venerdì [26/05/17]:

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