TN2 - Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri

A.A. 2005/2006 - I Semestre - Crediti 6.


Informazioni Generali Avvisi Diario delle Lezioni Testi Consigliati Programma Elenco degli esercizi da consegnare

Informazioni Generali

Docente Francesco Pappalardi
Ricevimento mercoledý 11:00 - 13:00
Ufficio 209
Telefono 06 54888243
E-mail pappa at mat dot uniroma3 dot it
Lezioni:
Lunedý 11-13 (Aula C)
Mercoldý 9-11 (Aula C)
Mercoldý 11-13 (Aula 009)
Venerdý 9-11 (Aula 009)
DESCRIZIONE DEL CORSO


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Avvisi:

  • Le lezioni sono iniziate il 23 Settembre alle ore 11:00.
  • La lezione prevista per Mercoledý 26 Ottobre Ŕ rinviata.
  • Il seminario previsto per Merrcoledý 9 Novembre si terrÓ il Giovedý 10 Novembre alle 14:00 in un aula da destinarsi.
  • Le lezioni vengono interrotte l'11 Novembre e riprenderanno il 19 Novembre con un seminario il cui titolo verrÓ arrunciato un questo sito.

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    Diario delle Lezioni:

    1. (Venerdý 23 Settembre)
      a. Organizzazione del corso, libri di testo, notazioni della teoria analitica dei numeri, la costante di Eulero.
      b. Il problema di Dirichlet per il numero medio di divisori di un intero, il metodo dell'iperbole.
    2. (Lunedý 26 Settembre)
      a. La funzione z(s) reale, Il Teorema di Dirichlet per primi in progressione aritmetica.
      b. L-serie di Dirichlet L(s,c), produttorie, Inizio della dimostrazione nel caso di modulo primo.
    3. (Mercoledý 28 Settembre)
      a. Somme di Gauss, fine dimostrazione nel caso del modulo primo.
      b. Calcolo delle somme di Gauss.
    4. (Venerdý 30 Settembre)
      a. Formula della somma di Poisson, applicazione alle di Gauss.
      b. Caratteri di Dirichlet, prime proprietÓ (inizio).
    5. (Lunedý 3 Ottobre)
      a. Caratteri di Dirichlet (continua). Determinazione dei Caratteri esplicita.
      b. Leggi di ortogonalitÓ dei caratteri, Dimostrazione del Teorema di Dirichlet nel caso generale (inizio). Estensione analitica a s>0 della funzione z(s) e delle L-serie di Dirichlet.
    6. (Mercoledý 5 Ottobre)
      a. Dimostrazione di de la Valle Poussin che la L-serie non si annullano in s=1 ( L(1,c) 1 ).
      b. Caratteri primitivi e loro proprietÓ, caratteri primitivi reali (inizio).
    7. (Venerdý 7 Ottobre)
      a. Determinazione di tutti i caratteri primitivi reali e dei moduli per cui esistono, simbolo di Kronecker.
      b. L'articolo di Riemann e l'estensione analitica di z(s). Programma di Riemann per la dimostrazione del Teorema dei numeri primi.
    8. (Lunedý 10 Ottobre)
      a. Dimostrazione di Riemann dell'equazione funzionale per la funzione z(s), zeri banali per z(s);
      b. L'equazione funzionale per le L-serie di Dirichlet (inizio).
    9. (Mercoledý 12 Ottobre)
      a. L'equazione funzionale per le L-serie di Dirichlet per caratteri primitivi pari, zeri banali delle L-serie per caratteri pari e dispari.
      b. L'equazione funzionale per le L-serie di Dirichlet per caratteri primitivi dispari. Prodotti di Hadamard (inizio)
    10. (Mercoledý 12 Ottobre) Seminario Studenti: Ciclotomia
    11. (Venerdý 14 Ottobre)
      a. Funzioni intere di ordine finito, proprietÓ delle funzioni di ordine finito;
      b. Funzioni intere di ordine finito senza zeri.
    12. (Lunedý 17 Ottobre)
      a. Teorema di Hadamard per funzioni intere di ordine uno, Distribuzione degli zeri di funzioni intere di ordine uno.;
      b. La funzione csi ha ordine, l'ordinata dello zero non banale pi¨ piccolo Ŕ in valore assoluto maggiore di 6.5.
    13. (Mercoledý 19 Ottobre)
      a. derivate logaritmiche delle funzioni x(s) e x(s,c). La serie dei reciproci degli zeri nella striscia critica.
      b. La funzione zeta non ha zeri sulla retta s = 1.
    14. (Mercoledý 19 Ottobre) Seminario: Distribuzione dei numeri primi prima di Riemann
    15. (Venerdý 21 Ottobre) Seminario: La funzione Gamma
    16. (Lunedý 24 Ottobre)
      a. Regione priva di zeri per s (Teorama di Hadamard - de La Valle Poussin 1896)
      b. Regione priva di zeri per L(s,c) nel caso in cui c Ŕ complesso.
    17. (Mercoledý 26 Ottobre) LEZIONE RINVIATA
    18. (Venerdý 28 Ottobre)
      a. Regione priva di zeri per L(s,c) nel caso in cui c Ŕ reale e l'ordinata Ŕ maggiore di c/log q.
      b. Zeri reali di L(s,c) e corollari vari.
    19. (Venerdý 4 Novembre)
      a. La formula di von Mangoldt per N(T), Il metodo del calcolo dei residui della derivata logaritmica.
      b. Riduzione dimostrazione che
      arg zó

      z
      ( 1

      2
      +iT)=O(logT)
    20. (Lunedý 7 Novembre)
      a. La formula esplicitÓ per la funzione y(x), l'integrale discontinuo di Perron.
      b. La relazione tra y(x)0 e l'integrale della derivata logaritmica di zeta, approssimazione mediante l'integrale su un segmento verticale.
    21. (Mercoledý 9 Novembre)
      a.
      b.
    22. (Giovedý 9 Novembre) Seminario: Formula di Classe di Dirichlet
    23. (Venerdý 11 Novembre)
      a.
      b.
    24. (Lunedý 19 Dicembre) Seminario: Ordini medi delle funzioni aritmetiche, distribuzioni di interi senza fattori quadratici e serie generatrici di funzioni aritmetiche.
    25. (Mercoledý 21 Dicembre)
      a.
      b.
    26. (Mercoledý 21 Dicembre) Seminario: Teorema di Siegel
    27. (Venerdý 23 Dicembre) Seminario: La disuguaglianza di Pˇlya Vinogradov

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    Testi consigliati:


    Testi specifici

  • Harold Davenport. Multiplicative Number Theory. (Graduate Texts in Mathematics) Springer.
  • Gerald Tenenbaum. Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) CUP.
  • Tom M. Apostol. Introduction to Analytic Number Theory. (Undergraduate Texts in Mathematics) Springer.

    Altri Testi

  • Henryk Iwaniec, Emmanuel Kowalski. Analytic Number Theory (Colloquium Publications, Vol. 53) (Colloquium Publications (Amer Mathematical Soc)).
  • Paul T. Bateman, Harold G. Diamond. Analytic Number Theory: An Introductory Course



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    Elenco degli esercizi da consegnare:

    1. Dimostrare che se s > 1 allora
      z(s)=
      ň
      n ú x 
      1

      ns
      + x1-s

      s-1
      +O(x-s)
      (23/9)
    2. Cercare nella letteratura la dimostrazione del seguente enunciato: "a > 0, "n Z, $n0 {0,1},n1 {0,,2a-2-1} tali che
      n (-1)n05n1( mod 2a).
      (30/9)
    3. Siano n,q1,q Z tali che q1 | q, (n,q) 1, (n,q1)=1. Dimostrare che esiste t Z tale che (n+q1t,q)=1.
      (5/10)
    4. Verificare la seguente identitÓ: se |z1| < R
      1

      2pi
      ˇ
      §


      |z|=R 
      1

      z
      log Š
      Ŕ
      1- z

      z1
      ÷
      °
      dz=log Š
      Ŕ
      R

      z1
      ÷
      °
      .
      (14/10)
    5. Dimostrare che se q Ŕ primo, allora tutti e soli i caratteri modulo q sono della forma
      c:Z«C, n« ý
      ´
      Ý
      ´
      ţ
      0
      se q| n
      wn(n)
      altrimenti
      dove wq-1=1.
      (3/10)
    6. Mostrare che se s [0,1) allora z(s) < 0.
      (10/10)
    7. Mostrare che
      - 1

      2
      Gó

      G
      (3/2)=log2-1+g/2.
      (17/10)
    8. Mostrare che

      lim
      s«1+ 
      zó

      z
      (s)+ 1

      s-1
      =1-g.
      (17/10)
    9. Trovare un esempio di una funzione intera di ordine infinito che interpola il fattoriale.
      (21/10)
    10. Sia k un intero positivo. Ricavare una formula per G(2-k).
      (21/10)
    11. Trovare esplicitamente un valore c>0 tale che se s>1-c/log(t) e t Ŕ sufficientemente elevato, allora z(s+it) 0
      (24/10)
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