TN2 - Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri

A.A. 2005/2006 - I Semestre - Crediti 6.

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Informazioni Generali

Docente Francesco Pappalardi
Ricevimento mercoledì 11:00 - 13:00
Ufficio 209
Telefono 06 54888243
E-mail pappa at mat dot uniroma3 dot it
Lezioni:
Lunedì 11-13 (Aula C)
Mercoldì 9-11 (Aula C)
Mercoldì 11-13 (Aula 009)
Venerdì 9-11 (Aula 009)
DESCRIZIONE DEL CORSO

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Avvisi:

  • Le lezioni sono iniziate il 23 Settembre alle ore 11:00.
  • La lezione prevista per Mercoledì 26 Ottobre è rinviata.
  • Il seminario previsto per Merrcoledì 9 Novembre si terrà il Giovedì 10 Novembre alle 14:00 in un aula da destinarsi.
  • Le lezioni vengono interrotte l'11 Novembre e riprenderanno il 19 Novembre con un seminario il cui titolo verrà arrunciato un questo sito.
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    Diario delle Lezioni:

    1. (Venerdì 23 Settembre)
      a. Organizzazione del corso, libri di testo, notazioni della teoria analitica dei numeri, la costante di Eulero.
      b. Il problema di Dirichlet per il numero medio di divisori di un intero, il metodo dell'iperbole.
    2. (Lunedì 26 Settembre)
      a. La funzione z(s) reale, Il Teorema di Dirichlet per primi in progressione aritmetica.
      b. L-serie di Dirichlet L(s,c), produttorie, Inizio della dimostrazione nel caso di modulo primo.
    3. (Mercoledì 28 Settembre)
      a. Somme di Gauss, fine dimostrazione nel caso del modulo primo.
      b. Calcolo delle somme di Gauss.
    4. (Venerdì 30 Settembre)
      a. Formula della somma di Poisson, applicazione alle di Gauss.
      b. Caratteri di Dirichlet, prime proprietà (inizio).
    5. (Lunedì 3 Ottobre)
      a. Caratteri di Dirichlet (continua). Determinazione dei Caratteri esplicita.
      b. Leggi di ortogonalità dei caratteri, Dimostrazione del Teorema di Dirichlet nel caso generale (inizio). Estensione analitica a s>0 della funzione z(s) e delle L-serie di Dirichlet.
    6. (Mercoledì 5 Ottobre)
      a. Dimostrazione di de la Valle Poussin che la L-serie non si annullano in s=1 ( L(1,c)¹ 1 ).
      b. Caratteri primitivi e loro proprietà, caratteri primitivi reali (inizio).
    7. (Venerdì 7 Ottobre)
      a. Determinazione di tutti i caratteri primitivi reali e dei moduli per cui esistono, simbolo di Kronecker.
      b. L'articolo di Riemann e l'estensione analitica di z(s). Programma di Riemann per la dimostrazione del Teorema dei numeri primi.
    8. (Lunedì 10 Ottobre)
      a. Dimostrazione di Riemann dell'equazione funzionale per la funzione z(s), zeri banali per z(s);
      b. L'equazione funzionale per le L-serie di Dirichlet (inizio).
    9. (Mercoledì 12 Ottobre)
      a. L'equazione funzionale per le L-serie di Dirichlet per caratteri primitivi pari, zeri banali delle L-serie per caratteri pari e dispari.
      b. L'equazione funzionale per le L-serie di Dirichlet per caratteri primitivi dispari. Prodotti di Hadamard (inizio)
    10. (Mercoledì 12 Ottobre) Seminario Studenti: Ciclotomia
    11. (Venerdì 14 Ottobre)
      a. Funzioni intere di ordine finito, proprietà delle funzioni di ordine finito;
      b. Funzioni intere di ordine finito senza zeri.
    12. (Lunedì 17 Ottobre)
      a. Teorema di Hadamard per funzioni intere di ordine uno, Distribuzione degli zeri di funzioni intere di ordine uno.;
      b. La funzione csi ha ordine, l'ordinata dello zero non banale più piccolo è in valore assoluto maggiore di 6.5.
    13. (Mercoledì 19 Ottobre)
      a. derivate logaritmiche delle funzioni x(s) e x(s,c). La serie dei reciproci degli zeri nella striscia critica.
      b. La funzione zeta non ha zeri sulla retta s = 1.
    14. (Mercoledì 19 Ottobre) Seminario: Distribuzione dei numeri primi prima di Riemann
    15. (Venerdì 21 Ottobre) Seminario: La funzione Gamma
    16. (Lunedì 24 Ottobre)
      a. Regione priva di zeri per s (Teorama di Hadamard - de La Valle Poussin 1896)
      b. Regione priva di zeri per L(s,c) nel caso in cui c è complesso.
    17. (Mercoledì 26 Ottobre) LEZIONE RINVIATA
    18. (Venerdì 28 Ottobre)
      a. Regione priva di zeri per L(s,c) nel caso in cui c è reale e l'ordinata è maggiore di c/log q.
      b. Zeri reali di L(s,c) e corollari vari.
    19. (Venerdì 4 Novembre)
      a. La formula di von Mangoldt per N(T), Il metodo del calcolo dei residui della derivata logaritmica.
      b. Riduzione dimostrazione che
      arg z¢
      z
      		 ( 1
      2
      		 +iT)=O(logT)
    20. (Lunedì 7 Novembre)
      a. La formula esplicità per la funzione y(x), l'integrale discontinuo di Perron.
      b. La relazione tra y(x)0 e l'integrale della derivata logaritmica di zeta, approssimazione mediante l'integrale su un segmento verticale.
    21. (Mercoledì 9 Novembre)
      a.
      b.
    22. (Giovedì 9 Novembre) Seminario: Formula di Classe di Dirichlet
    23. (Venerdì 11 Novembre)
      a.
      b.
    24. (Lunedì 19 Dicembre) Seminario: Ordini medi delle funzioni aritmetiche, distribuzioni di interi senza fattori quadratici e serie generatrici di funzioni aritmetiche.
    25. (Mercoledì 21 Dicembre)
      a.
      b.
    26. (Mercoledì 21 Dicembre) Seminario: Teorema di Siegel
    27. (Venerdì 23 Dicembre) Seminario: La disuguaglianza di Pólya Vinogradov
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    Testi consigliati:


    Testi specifici

  • Harold Davenport. Multiplicative Number Theory. (Graduate Texts in Mathematics) Springer.
  • Gerald Tenenbaum. Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) CUP.
  • Tom M. Apostol. Introduction to Analytic Number Theory. (Undergraduate Texts in Mathematics) Springer.

    Altri Testi

  • Henryk Iwaniec, Emmanuel Kowalski. Analytic Number Theory (Colloquium Publications, Vol. 53) (Colloquium Publications (Amer Mathematical Soc)).
  • Paul T. Bateman, Harold G. Diamond. Analytic Number Theory: An Introductory Course


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    Elenco degli esercizi da consegnare:

    1. Dimostrare che se Âs > 1 allora
      z(s)=
      å
      n £ x 
      		 1
      ns
      		 + x1-s
      s-1
      		 +O(x-s)
      (23/9)
    2. Cercare nella letteratura la dimostrazione del seguente enunciato: "a > 0, "n Î Z, $n0 Î {0,1},n1 Î {0,¼,2a-2-1} tali che
      n º (-1)n05n1( mod 2a).
      (30/9)
    3. Siano n,q1,q Î Z tali che q1 | q, (n,q) ¹ 1, (n,q1)=1. Dimostrare che esiste t Î Z tale che (n+q1t,q)=1.
      (5/10)
    4. Verificare la seguente identità: se |z1| < R
      1
      2pi
      		 ó
      õ

      |z|=R 
      		 1
      z
      		 log æ
      è       		1- z
      z1
      		 ö
      ø       		dz=log æ
      è       		R
      z1
      		 ö
      ø       		.
      (14/10)
    5. Dimostrare che se q è primo, allora tutti e soli i caratteri modulo q sono della forma
      c:Z®C, n® ì
      ï
      í
      ï
      î
      0
      se q| n
      wn(n)
      altrimenti
      dove wq-1=1.
      (3/10)
    6. Mostrare che se sÎ [0,1) allora z(s) < 0.
      (10/10)
    7. Mostrare che
      - 1
      2
      		 G¢
      G
      		 (3/2)=log2-1+g/2.
      (17/10)
    8. Mostrare che

      lim
      s®1+ 
      		 z¢
      z
      		 (s)+ 1
      s-1
      		 =1-g.
      (17/10)
    9. Trovare un esempio di una funzione intera di ordine infinito che interpola il fattoriale.
      (21/10)
    10. Sia k un intero positivo. Ricavare una formula per G(2-k).
      (21/10)
    11. Trovare esplicitamente un valore c>0 tale che se s>1-c/log(t) e t è sufficientemente elevato, allora z(s+it) ¹0
      (24/10)
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