TN2 - Introduzione alla Teoria Analitica dei Numeri

A.A. 2007/2008 - II Semestre - Crediti 6.

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Informazioni Generali

Docente Francesco Pappalardi
Ricevimento Lunedì 11:00 - 13:00
Ufficio 209
Telefono 06 57338243
E-mail pappa at mat dot uniroma3 dot it
Lezioni:
Lunedì 09-11 (Aula 009)
Mercoldì 9-11 (Aula C)
DESCRIZIONE DEL CORSO

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Avvisi:

  • Le lezioni sono iniziate il 25 Febbraio alle ore 0:00.
  • TESINE PROPOSTE:
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    Diario delle Lezioni:

    1. (Lunedì 25 Febbraio)
      a. Presentazione del corso, libri di testo, Problemi fondamentali della teoria analitica dei numeri: Teoria Analitica delle funzioni aritmetiche, Numeri primi in progressione aritmetica, Teorema dei numeri primi (Ipotesi di Riemann).
      b. La formula delle somme parziali di Eulero, La costante di Eulero Mascheroni, Il problema di Dirichlet per il numero medio di divisori di un intero (inizio).
    2. (Mercoledì 27 Febbraio)
      a. Il metodo dell'iperbole di Dirichlet, estensione analitica di zeta al semipiano Re(s)>0
      b. Media di funzioni aritmetiche, esempi vari.
    3. (Lunedì 3 Marzo)
      a. Ancore sulle medie delle funzioni aritmetiche, la media di φ. Richiami sulle funzioni aritmetiche: convoluzione di funzioni aritmetiche.
      b. Distribuzione degli interi senza fattori quadratici. Serie di Dirichlet di una funzione aritmetiche e compatibilità con la convoluzione. Identità classiche e relazioni con la funzione zeta. Prodotto di Eulero (inizio).
    4. (Mercoledì 5 Marzo)
      a. Ancora sul prodotto di serie di Dirichlet associate a funzioni aritmetiche. Prodotto di Eulero per una serie di Dirichlet associata a una funzione moltiplicativa. Esempi.
      b. Definizione di carattere moltiplicativo, L-serie di Dirichlet di un carattere moltiplicativo. La derivata logaritmica della funzione zeta e la funzione di von Mangoldt.
    5. (Lunedì 10 Marzo)
      a. Dimostrazione del Teorema di Chebichev. Inizio
      b. Fine. Descrizione esplicita dei caratteri moltiplictivi con modulo primo. Esempi e leggi di ortogonalità.
    6. (Mercoledì 12 Marzo)
      a. Inizio della dimostrazione del Teorema di Dirichlet per primi in progressione aritmetica (modulo primo). Teorema di Eulero sulla divergenza della serie dei reciproci dei numeri primi. Strategia della dimostrazione del Teorema di Dirichlet.
      b. Formula che lega la somme dei logaritmi delle L-serie sui caratteri alla somma dei reciproci delle potenze di primi in progressione aritmetica.
    7. (Lunedì 17 Marzo)
      a. Continua la dimostrazione del Teorema di Dirichlet per primi in progressione aritmetica (modulo primo). Le L-serie associate a caratteri non principali convergono per s>0. Le L-serie associate a caratteri complessi non si annullano in s=1.
      b. Il calcolo del valore in s=1 della L-serie associata al carattere reale (inizio). Somme di Gauss (inizio)
    8. (Mercoledì 19 Marzo)
      a.
      b.
    9. (Mercoledì 26 Marzo) ATTIVITA' DIDATTICA
      a.
      b.
    10. (Lunedì 31 Marzo)
      a.
      b.
    11. (Mercoledì 2 Aprile)
      a.
      b.
    12. (Lunedì 7 Aprile)
      a.
      b.
    13. (Mercoledì 9 Aprile)
      a.
      b.
    14. (Lunedì 14 Aprile)
      a.
      b.
    15. (Mercoledì 16 Aprile)
      a.
      b.
    16. (Lunedì 21 Aprile)
      a.
      b.
    17. (Mercoledì 23 Aprile)
      a.
      b.
    18. (Lunedì 28 Aprile)
      a.
      b.
    19. (Mercoledì 30 Aprile)
      a.
      b.
    20. (Lunedì 5 Maggio)
      a.
      b.
    21. (Mercoledì 7 Maggio)
      a.
      b.
    22. (Lunedì 12 Maggio)
      a.
      b.
    23. (Mercoledì 14 Maggio)
      a.
      b.
    24. (Lunedì 19 Maggio)
      a. La formula di von Mangoldt per il calcolo della distribuzione verticale degli zeri di zeta.
      b.
    25. (Mercoledì 21 Maggio)
      a.
      b.
    26. (Lunedì 26 Maggio)
      a.
      b.
    27. (Mercoledì 28 Maggio)
      a.
      b.
    28. (Lunedì 2 Giugno)
      a.
      b.
    29. (Mercoledì 4 Giugno)
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    Testi consigliati:


    Testi specifici

  • Harold Davenport. Multiplicative Number Theory. (Graduate Texts in Mathematics) Springer.
  • Gerald Tenenbaum. Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) CUP.
  • Tom M. Apostol. Introduction to Analytic Number Theory. (Undergraduate Texts in Mathematics) Springer.

    Altri Testi

  • Henryk Iwaniec, Emmanuel Kowalski. Analytic Number Theory (Colloquium Publications, Vol. 53) (Colloquium Publications (Amer Mathematical Soc)).
  • Paul T. Bateman, Harold G. Diamond. Analytic Number Theory: An Introductory Course


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    Elenco degli esercizi da consegnare:

    1. Calcolare le prime tre cifre decimali della costante di Eulero Mascheroni.
    2. Calcolare una formula asintotica per la media di σk(n) = ∑d|n dk
    3. Enunciare e dimostrare nei dettagli il Test di Dirichlet per la convergenza delle serie numeriche e di funzioni.
    4. Dimostrare che esiste una costante A tale che per ogni 1< s <2, ζ(s)
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