Théorie algébrique des nombres et applications
École de recherche CIMPA-ICTP-BÉNIN
Institut des mathématiques et des sciences physiques (IMSP)
Dangbo, Bénin, 7-19 Juillet 2014

Introduction à la théorie algébrique des nombres
Francesco Pappalardi


Leçon 1 - Lundi 7 Juillet
Nous allons rappeler les notions de base concernant les anneaux et les corps et nous allons nous concentrer sur le cas des corps de nombres et en particulier
- les corps quadratiques qui sont de la forme Q(√d);
- les corps cyclotomiques qui sont de la forme Q(e2π i/n).
Nous allons introduire la notion d'entier algébrique et nous allons considérer l'anneau des entiers d'un corps de nombres. Nous allons calculer l'anneau des entiers des corps quadratiques et des corps cyclotomiques et conclure la leçon avec plusieurs exemples.
Leçon 2 - Mardi 8 Juillet
Nous allons commencer par rappeler des faits de base concernant les idéaux et les idéaux premiers dans un anneau et nous allons introduire la notion d'idéal fractionnaire. Ensuite, nous examinerons le problème de la factorisation des entiers dans les anneaux d'entiers de corps de nombres et nous allons découvrir que certaines nouvelles notions de factorisation sont nécessaires. Cela nous conduira à la factorisation des idéaux en idéaux premiers et à la définition de domaine de Dedekind. Enfin, nous allons rencontrer le groupe des classes d'idéaux qui est fini et qui mesure à quel point l'anneau des entiers est loin d'être un anneau principal. Nous conclurons avec des exemples dans les cas de corps quadratiques et cyclotomiques.
Leçon 3 - Mercredi 9 Juillet
Cette leçon est consacrée à l'étude des unités dans les anneaux d'entiers de corps de nombres. Si le temps le permet, nous allons donner quelques idées de la preuve du Théorème des Unités de Dirichlet qui explique précisément la structure des unités et la preuve de la finitude du groupe des classes d'idéaux. Plus important encore, nous allons jouer avec plusieurs exemples particulièrement impliqués dans les corps quadratiques et cyclotomiques.

Références:
Livres
  1. P. Samuel, Théorie algébrique des nombres, Hermann Ed (1971).
  2. P. Samuel, Algebraic Theory of Numbers, Hermann Ed (1960).
  3. I. Stewart & D. Tall, Algebraic number theory, Chapman & Hall (1972)
  4. R. Murty & J. Esmonde, Problems in Algebraic Number Theory, GTM190 Springer.
  5. I. Niven, H. S. Zuckerman & H. L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 5ed Wiley (1991) [Chapter 9].
  6. D. A. Marcus, Number fields, Springer V. Universitext (1977).
Notes sur le web en anglais
  1. F. Oggier: Introduction to Algebraic Number Theory
  2. J. P. S. Milne: Algebraic Number Theory
  3. H. Lee: Algebraic Number Theory
  4. M. Filaseta: Algebraic Number Theory
  5. T. Weston: Algebraic Number Theory
Notes sur le web en français
  1. Gaëtan Chenevier: Théorie algébrique des nombres
  2. J. F. Dat: Cours introductif de M2 - Théorie des Nombres
  3. B. Edixhoven & L. Moret-Bailly: théorie algébrique des nombres
  4. A. Chambert-Loir: Théorie algébrique des nombres