TN 1  - INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI NUMERI,  a.a. 2005-2006  (II semestre)


Diario delle lezioni:

20 febbraio :  Introduzione al corso, prime proprieta' delle congruenze, sistemi completi di residui.
22 febbraio :  Inverso aritmetico, sistemi ridotti di residui, funzione di Eulero. L'anello Z/nZ. Criteri di divisibilita'.
23 febbraio :  Congruenza lineare in una indeterminata. Equazione diofantea in due indeterminate.
27 febbraio :  Equazione diofantea lineare in tre indeterminate. Congruenza lineare in due indeterminate. Sistemi di congruenze lineari in due indeterminate.
1 marzo       :  Piccolo Teorema di Fermat. Teorema di Eulero-Fermat. Teorema di Wilson. Applicazioni.
6 marzo     :  Teorema cinese dei resti. Risoluzione delle congruenze polinomiali in una indeterminata modulo la potenza di un numero primo.
8 marzo       :  Esempi di soluzione di congruenze polinomiali in una indeterminata modulo n.  Teorema di Lagrange sul numero delle soluzioni di una congruenza polinomiale modulo un primo..
13 marzo     :  Applicazioni del teorema di Lagrange. Ordine di un elemento modulo n.
15 marzo    :  Radici primitive dell'unita' modulo n. Esistenza di radici primitive modulo un primo. Algoritmo di Gauss per determinare le radici primitive modulo un primo. Esempi.
20 marzo    :  Enunciato del Teorema di Gauss sull'esistenza di radici primitive. Definizione di indice di un elemento e prime proprieta'. Risoluzione delle congruenze del tipo X^m = a mod n. Esempi. Congruenze quadratiche.
22 marzo    :  Simbolo di Legendre: definizione e proprieta'. Lemma di Gauss. Esempi di applicazione del lemma di Gauss al calcolo del simbolo di Legendre.
27 marzo    :  Legge  di reciprocita'  quadratica. Esempi.
12 aprile     :  Congruenze quadratiche. X^2 = a  mod  p^e . X^2  = a mod 2^e
19 aprile     :  Simbolo di Jacobi. L'equazione diofantea quadratica X^2 = a.
26 aprile     :  Funzioni aritmetiche. Funzioni moltiplicative. Esempi. Prodotto di Dirichlet.
3 maggio     : Inversa di una funzione aritmetica. Gruppo delle funzioni aritmetiche. Esempi. Calcolo dell'inversa di una funzione totalmente moltiplicativa.
8 maggio     : Gruppo delle funzioni moltiplicative. Formula di inversione di Moebius. Terne pitagoriiche.
10 maggio   :  L'equazione X^4 + Y^4 = Z^4. L'area di un triangolo rettangolo a lati interi non e' il quadrato di un numero intero.
15 maggio   :  Interi somma di due quadrati.
17 maggio   :  Interi somma di tre e quattro quadrati. Problema di Waring.
22 maggio   :  Cenni sulla distribuzione dei numeri primi.
24 maggio   :  Esercizi.