Complementi di Matematica (A-K)- a.a. 2014/2015

ESERCIZI E COMPLEMENTI - parte 4



F) IL PIANO PROIETTIVO E LE COORDINATE OMOGENEE

F1) Definiamo il piano proiettivo reale $\mathbb{P}^2$ come il quoziente di $\mathbb{R}^3\setminus \{(0,0,0)\}$ rispetto alla relazione di equivalenza $(z_0,z_1,z_2)\sim (y_0,y_1,y_2)$ se e solo se esiste $0 \ne \lambda \in \mathbb{R}$ tale che $y_i=\lambda z_i$ per $i=0,1,2$. Il punto di $\mathbb{P}^2$ definito da $(z_0,z_1,z_2)$ si denota con il simbolo $[z_0,z_1,z_2]$. Per definizione, se $\lambda\ne 0$ allora $[z_0,z_1,z_2]$ e $[\lambda z_0,\lambda z_1,\lambda z_2]$ denotano lo stesso punto, di cui $[z_0,z_1,z_2]$ si dicono coordinate omogenee. I punti della forma $[0,z_1,z_2]$ si dicono punti impropri oppure punti all'infinito. L'insieme dei punti impropri si denoterà $L_\infty$ e si chiamerà retta impropria.
Un'equazione della forma $a_1z_1+a_2z_2+a_0z_0=0$ definisce una retta proiettiva $L\subset \mathbb{P}^2$. Si osservi che le soluzioni di una simile equazione sono definite a meno di un fattore di proposzionalità, e quindi sono identificabili a punti di $\mathbb{P}^2$. La retta impropria è un caso particolare, e ha equazione $z_0=0$. Due equazioni del tipo precedente definiscono due rette distinte se e solo se non sono proporzionali. In tal caso la loro intersezione è un punto. Quindi in $\mathbb{P}^2$ due rette si incontrano sempre.
E' possibile identificare $\mathbb{R}^2$ con $\mathbb{P}^2\setminus L_\infty$ associando ad $(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2$ il punto $[1,x_1,x_2]\in \mathbb{P}^2\setminus L_\infty$. Viceversa, ogni $[z_0,z_1,z_2]\in \mathbb{P}^2\setminus L_\infty$ proviene dal punto $(z_1/z_0,z_2/z_0)\in \mathbb{R}^2$.
Ad ogni retta $r: a_1x_1+a_2x_2+a_0=0$ di $\mathbb{R}^2$ si può associare la retta proiettiva di equazione $a_1z_1+a_2z_2+a_0z_0=0$. I suoi punti sono quelli di $\mathbb{P}^2\setminus L_\infty$ con in più il suo punto improprio $r_\infty$, cioè la sua intersezione con $L_\infty$. Le coordinate omogenee di $r_\infty$ sono $[0,-a_2,a_1]$. Notare che $(-a_2,a_1)$ è un vettore di direzione di $r$.
Se $r_1$ ed $r_2$ sono rette parallele di $\mathbb{R}^2$ allora le rette proiettive associate hanno lo stesso punto improprio, che è il loro punto di intersezione.
Il concetto di fascio di rette si dà in $\mathbb{P}^2$ in modo analogo al caso di $\mathbb{R}^2$. La differenza è che in $\mathbb{P}^2$ tutti i fasci di rette sono propri. Ad un fascio proprio di rette di $\mathbb{R}^2$ è associato un fascio di rette di $\mathbb{P}^2$ di centro un punto proprio; ad un fascio improprio di rette di $\mathbb{R}^2$ è associato il fascio di rette di $\mathbb{P}^2$ di centro il punto improprio comune a tutte le rette del fascio improprio.

F2) Sia $\mathcal{C}\subset \mathbb{R}^2$ è la conica di equazione $f(\mathbf{x})=f(x_1,x_2)=0$, dove $f(x_1,x_2)= a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+ a_{22}x_2^2+2a_{01}x_1+2a_{02}x_2+a_{00}$. Sia
$F(\mathbf{z})=F(z_0,z_1,z_2)= z_0^2f\left(\frac{z_1}{z_0},\frac{z_2}{z_0}\right) = a_{11}z_1^2+2a_{12}z_1z_2+ a_{22}z_2^2+2a_{01}z_0z_1+2a_{02}z_0z_2+a_{00}z_0^2$ .
Poiche' $F$ è omogeneo l'equazione $F(\mathbf{z})=0$ definisce un sottoinsieme $\overline{\mathcal{C}}$ di $\mathbb{P}^2$, che si dice la conica proiettiva associata a $\mathcal{C}$. L'insieme $\overline{\mathcal{C}}\cap (\mathbb{P}^2\setminus L_\infty)$ consiste precisamente dei punti $[1,x_1,x_2]$ tali che $(x_1,x_2) \in \mathcal{C}$. I punti impropri di $\overline{\mathcal{C}}$, cioè i punti di $\overline{\mathcal{C}}\cap L_\infty$, sono i punti le cui coordinate omogenee sono soluzioni del sistema $z_0=F(\mathbf{z})=0$, cioè sono i punti le cui coordinate omogenee sono della forma $[0,z_1,z_2]$ con $(z_1,z_2)$ una qualsiasi soluzione non nulla dell'equazione $a_{11}z_1^2+2a_{12}z_1z_2+ a_{22}z_2^2=0$. Il discriminante di questa equazione di secondo grado è $\Delta= -\mathrm{det}(A_0)=0$. Quindi l'equazione ha due soluzioni reali e distinte, una soluzione reale doppia, oppure nessuna soluzione reale a seconda che $\mathcal{C}$ sia rispettivamente un'iperbole, una parabola, un'ellisse. Quindi i tre diversi tipi di coniche si differenziano per il modo in cui la conica proiettiva associata interseca la retta impropria.

F3) Polarità rispetto a una conica.   Sia $F(\mathbf{z})$ un polinomio omogeneo di grado 2 in $z_0,z_1,z_2$, e sia $\overline{\mathcal{C}}$ la conica proiettiva di $\mathbb{P}^2$ da esso definita. Denotiamo con $F_0,F_1,F_2$ le tre derivate parziali di $F$, cioè i tre seguenti polinomi omogenei di primo grado:
$F_0(\mathbf{z})=2a_{01}z_1+2a_{02}z_2+2a_{00}z_0, \quad F_1(\mathbf{z}) = 2a_{11}z_1+2a_{12}z_2+2a_{01}z_0, \quad F_2(\mathbf{z}) = 2a_{22}z_2+2a_{12}z_1+2a_{02}z_0$.
Allora $B(\mathbf{w},\mathbf{z}) = \frac{1}{2}(w_0F_0(\mathbf{z})+w_1F_1(\mathbf{z})+w_2F_2(\mathbf{z}))$ è la forma bilineare simmetrica tale che $B(\mathbf{z},\mathbf{z}) = F(\mathbf{z})$, e si chiama forma bilineare polare di $F(\mathbf{z})$.
La corrispondenza tra $B$ ed $F$ suggerisce la seguente definizione. Sia $\mathbf{p}=[p_0,p_1,p_2]\in \mathbb{P}^2$. La retta polare di $\mathbf{p}$ rispetto a $\overline{\mathcal{C}}$ è la retta $\Gamma_{\mathbf{p}}(\overline{\mathcal{C}})$ di $\mathbb{P}^2$ di equazione $p_0F_0(\mathbf{z})+p_1F_1(\mathbf{z})+p_2F_2(\mathbf{z})=0$. Il punto $\mathbf{p}$ si dice polo di $\Gamma_{\mathbf{p}}(\overline{\mathcal{C}})$. La corrispondenza $\mathbf{p}\mapsto \Gamma_{\mathbf{p}}(\overline{\mathcal{C}})$ è chiamata polarità rispetto a $\overline{\mathcal{C}}$.
Si supponga la conica $\overline{\mathcal{C}}$ non-degenere. Allora la polarità gode delle seguenti proprietà:

a) La polarità stabilisce una corrispondenza biunivoca tra punti di $\mathbb{P}^2$ e rette di $\mathbb{P}^2$.
Dim. Bisogna verificare che ogni retta possiede un solo polo. Se $r: a_0z_0+a_1z_1+a_2z_2=0$ allora ogni suo polo $\mathbf{p}=[p_0,p_1,p_2]$ soddisfa $\rho(a_0z_0+a_1z_1+a_2z_2) = p_0F_0(\mathbf{z})+p_1F_1(\mathbf{z})+p_2F_2(\mathbf{z})$ per qualche $\rho\ne 0$. Questa condizione corrisponde al sistema di equazioni in $p_0,p_1,p_2$:
$p_0a_{00}+p_1a_{01}+p_2a_{02}=\rho a_0$
$p_0a_{10}+p_1a_{11}+p_2a_{12}=\rho a_1$
$p_0a_{20}+p_1a_{21}+p_2a_{22}=\rho a_2$.
Poiche' $\mathrm{det}(A) \ne 0$ esiste un'unica soluzione la quale dipende da un fattore di proporzionalità $\rho$. Cioè esiste un unico polo $\mathbf{p}=[p_0,p_1,p_2]$.

b) $\mathbf{p} \in \overline{\mathcal{C}}$ se e solo se $\mathbf{p} \in \Gamma_{\mathbf{p}}(\overline{\mathcal{C}})$. In tal caso $\overline{\mathcal{C}}$ è detta retta tangente a $\overline{\mathcal{C}}$ in $\mathbf{p}$. ( Dim. $\mathbf{p} \in \overline{\mathcal{C}} \Leftrightarrow B(\mathbf{p},\mathbf{p}) =0 \Leftrightarrow F(\mathbf{p})=0.$)

c) ( Teorema di reciprocità)   $\mathbf{q} \in \Gamma_{\mathbf{p}}(\overline{\mathcal{C}})$ se e solo se $\mathbf{p} \in \Gamma_{\mathbf{q}}(\overline{\mathcal{C}})$.   ( Dim. $\mathbf{q} \in \Gamma_{\mathbf{p}}(\overline{\mathcal{C}}) \Leftrightarrow B(\mathbf{p},\mathbf{q})=0 \Leftrightarrow B(\mathbf{q},\mathbf{p})=0 \Leftrightarrow \mathbf{p} \in \Gamma_{\mathbf{q}}(\overline{\mathcal{C}}).$)

d) Sia $\mathbf{p}=[p_0,p_1,p_2]\notin \overline{\mathcal{C}}$.   Diremo che $\mathbf{p}$ è esterno (rispettivamente interno) a $\overline{\mathcal{C}}$ se la sua retta polare incontra (rispettivamente non incontra) $\overline{\mathcal{C}}$.   Se $\mathbf{p}$ è esterno a $\overline{\mathcal{C}}$ allora la sua retta polare incontra $\overline{\mathcal{C}}$ in due punti distinti le cui tangenti passano per $\mathbb{p}$.
Dim. Per il teorema di reciprocità le polari dei punti $\Gamma_{\mathbf{p}}(\overline{\mathcal{C}})\cap \overline{\mathcal{C}}$, che sono le tangenti a $\overline{\mathcal{C}}$ in quei punti, passano per il polo $\mathbf{p}$. I punti $\Gamma_{\mathbf{p}}(\overline{\mathcal{C}})\cap \overline{\mathcal{C}}$ sono al più due perche' sono soluzioni di un'equazione di secondo grado sulla retta. Se $\Gamma_{\mathbf{p}}(\overline{\mathcal{C}})\cap \overline{\mathcal{C}}$ si riducesse a un solo punto $\mathbf{q}$, cioè fosse una radice doppia dell'equazione di secondo grado, la retta $\Gamma_{\mathbf{p}}(\overline{\mathcal{C}})$ sarebbe la tangente a $\overline{\mathcal{C}}$ in $\mathbf{q}$ (questo fatto richiede una verifica che tralasciamo) ma allora $\Gamma_{\mathbf{p}}(\overline{\mathcal{C}})$ avrebbe due poli distinti, $\mathbf{p}$ e $\mathbf{q}$.

e) Se la conica è a centro (ellisse o iperbole) il polo della retta impropria è il centro della conica, che è il centro di simmetria. Se la conica è una parabola allora la retta impropria è la retta tangente alla conica nel suo (unico) punto improprio. Se $\overline{\mathcal{C}}$ è un'iperbole le sue tangenti nei punti impropri sono dette asintoti dell'iperbole.