G1) I seguenti sono alcuni esempi di equazioni lineari del primo ordine omogenee.
a) $y'(t) \pm t^k y(t) =0$, $\ k \ne -1$ intero. Soluzione generale: $y(t)=C e^{\mp\frac{t^{k+1}}{k+1}}, \ C\in \mathbb{R}$. Insieme di definizione: $\mathbf{I}=\mathbb{R}$ se $k \ge 0$ e
$\mathbf{I}=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ se $k\le -2$.
b) $y'(t)+ k \frac{y(t)}{t}=0$, $\ k$ intero. Soluzione generale: $y(t)= \frac{C}{t^k}$, $\ C\in \mathbb{R}$.
Insieme di definizione: $\mathbf{I}=\mathbb{R}$ se $k \le 0$. Se invece $k> 0$ allora $\mathbf{I}=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$.
c) $y'(t) \pm \tan(t) y(t)=0$. Soluzione generale: $y(t)= C \cos(t)^{\pm 1}$, $\ C\in \mathbb{R}$. Insieme di definizione: $\mathbf{I}=\mathbb{R}\setminus \{\pi/2+ k \pi: k\in \mathbb{Z}\}$.
d) $y'(t) \pm \cot(t) y(t)=0$. Soluzione generale: $y(t)= C \sin(t)^{\mp 1}$, $\ C\in \mathbb{R}$. Insieme di definizione: $\mathbf{I}=\mathbb{R}$ nel caso $+$, e
$\mathbb{R}\setminus \{k \pi: k\in \mathbb{Z}\}$ nel caso $-$.
G2) Metodo di variazione della costante. È un metodo pratico per risolvere equazioni lineari del primo ordine non omogenee. Sia data l'equazione
$y'(t)+a(t)y(t)= b(t)$, e sia $y(t)=C e^{-A(t)}$ la soluzione generale dell'equazione omogenea associata $y'(t)+a(t)y(t)= 0$, dove $A(t)$ è una primitiva di $a(t)$. Il metodo consiste nello scrivere la soluzione generale nella forma
$y(t)=C(t) e^{-A(t)}$, dove $C(t)$ è una funzione incognita. Derivando si ottiene: $y'(t)= C'(t)e^{-A(t)}-C(t)a(t)e^{-A(t)}$. Sostituendo nell'equazione si ottiene:
$[C'(t)e^{-A(t)}-C(t)a(t)e^{-A(t)}]+a(t)C(t) e^{-A(t)} = b(t)$, che si riduce a: $C'(t)e^{-A(t)}=b(t)$, cioè $C'(t) = b(t)e^{A(t)}$. Integrando si ottiene $C(t)=C_0+v(t)$ dove $v(t)$ è una primitiva di $b(t)e^{A(t)}$ e $C_0$ è una costante. Quindi la soluzione generale è $y(t)= C(t) e^{-A(t)} = [C_0+v(t)]e^{-A(t)}$.
G3) Determinare la soluzione generale dell'equazione: $y'+\frac{3y}{t} = 9t^5 - 5t$.
Soluzione: Scriviamo la soluzione generale dell'equazione omogenea nella forma $y(t)=\frac{C}{t^3}$ (esempio G1b) e applichiamo il metodo di variazione della costante derivando la
$y(t)=\frac{C(t)}{t^3}$. Otteniamo $C'(t)=(9t^5 - 5t)t^3$. Quindi $C(t)=C_0+t^9-t^5$. Quindi la soluzione generale è $y(t)= \frac{C_0}{t^3} + t^6-t^2$, $t \ne 0$.
G4) Determinare la soluzione generale dell'equazione: $y'= \tan(t)y+\cos(t)$.
Soluzione: Scrivendo la soluzione generale nella forma $y(t)= \frac{C(t)}{\cos(t)}$ e applicando il metodo della variazione della costante si trova $C'(t)=\cos^2(t)$. Utilizzando l'identità $\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t)$ e riscrivendola nella forma $\cos(2t)+1 = \cos^2(t)-\sin^2(t)+(\cos^2(t)+\sin^2(t)) = 2\cos^2(t)$ si trova
$v(t)=\int\cos^2(t)dt=\int\left[\frac{1}{2}\cos(2t)+\frac{1}{2}\right]dt =
\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin(2t)$. Quindi la soluzione generale è $y(t) = \frac{1}{\cos(t)}\left(C+\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sin(2t)\right)$, $\ t\ne \pi/2+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
G5) Determinare la soluzione generale dell'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti con equazione caratteristica $r^2+5r+4=0$.
Soluzione: L'equazione differenziale da risolvere è $y''(t)+5y'(t)+4y(t)=0$. Le soluzioni dell'equazione caratteristica sono: $r_1=-1, \ r_2=-4$. Quindi la soluzione generale cercata è $y(t)= c_1e^{-t}+c_2e^{-4t}$.
G6) Come nell'esercizio precedente con $r^2-2r+1=0$.
Soluzione: $y(t)=c_1e^t+c_2te^t$.
G7) Come nell'esercizio precedente con $r^2+4=0$.
Soluzione: Le radici dell'equazione caratteristica sono $\pm 2i$. Quindi la soluzione cercata è $y(t)= c_1\cos(2t)+c_2\sin(2t)$.
G8) Determinare la soluzione generale dell'equazione: $y' + y= \sin(t)$.
Soluzione: $y(t) = \frac{\sin(t)-\cos(t)}{2}+ C e^{-t}$. E' definita in tutto $\mathbb{R}$.
G9) Determinare la soluzione generale dell'equazione: $y' + \tan(t)y= \sin(2t)$.
Soluzione: $y(t) = \cos(t)[-2\cos(t)+C]$.
G10) Determinare la soluzione del problema di Cauchy: $(1+x^2)y' = -2xy + \frac{1}{x}$ con $y(1)=1$.
Soluzione: Scriviamo l'equazione in forma normale: $y'+ \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{1}{x(1+x^2)}$. Posto $A(x) = \int \frac{2x}{1+x^2}dx = \log(1+x^2)$ troviamo per l'equazione omogenea associata la soluzione generale $y_0(t) = Ce^{-A(x)} = \frac{C}{1+x^2}$. Quindi la soluzione generale dell'equazione assegnata è:
$y(x) = \frac{1}{1+x^2}\left(C+ \int\frac{1+x^2}{x(1+x^2)}dx\right) = \frac{1}{1+x^2}(C+ \log |x|)$. Sostituendo $x=1$ e $y=1$ si trova $C=2$. quindi la soluzione è
$y(x)= \frac{2}{1+x^2}+\frac{\log x}{1+x^2}$ nell'intervallo $(0,+\infty)$.
G11) Determinare la soluzione del problema di Cauchy: $y'+\cot(x) y = \frac{x}{\sin(x)}$, con condizione iniziale $y(\pi/2)=0$.
Soluzione: Si ha $A(x) = \int \cot(x) dx = \log |\sin(x)|$ e con facili calcoli si trova la soluzione generale dell'equazione: $y(x)= \frac{C}{\sin(x)} + \frac{x^2}{2\sin(x)}$. Sostituendo $x=\pi/2$ e $y=0$ si trova $C= -\frac{\pi^2}{8}$.Quindi la soluzione è $y(x) = -\frac{\pi^2}{8\sin(x)}+ \frac{x^2}{2\sin(x)}$.