I1) Stabilire se il punto $p$ è interno, esterno, di frontiera, di accumulazione per l'insieme $E$ in ognuno dei seguenti casi:
a) $E=\{(x,y): x^2-y^2 > 0\}\subset \mathbb{R}^2$, $p=(0,0)$. b) $E=\{(x,y,z): z=0\}\cup \{(x,y,z): x=y=0\}$, $p=(0,0,1)$.
c) $\mathbb{R}\times \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}^2$, $p=(1,\sqrt{2})$. d) $\{(1/n,y):n\ge 1\ \text{intero}\}\subset \mathbb{R}^2$, $p=(2/3,1/2)$.
Soluzione: a),b),c) di frontiera e di accumulazione. d) esterno e non di accumulazione.
I2) Determinare il più grande aperto $A$ in cui è definita la funzione $f(x.y)= \ln(x+\sqrt{x^2+y^2})$ e calcolarne le derivate parziali se esistono.
Soluzione: $A=\{(x,y)\ne (x,0), x\le 0\}$. $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$, $\quad \frac{\partial f}{\partial y}= \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}(x+\sqrt{x^2+y^2})}$.
I3) Calcolare le derivate parziali $\frac{\partial f}{\partial x}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}$ della funzione composta $f(u(x,y),v(x,y))$ dove $u=x^2-y^2$, $v=e^{xy}$, e $f(u,v)=\cos u - \sin v$,
nel suo aperto di definizione $A$.
Soluzione: $A= \mathbb{R}^2$, $\frac{\partial f}{\partial x} = -2x\sin(x^2-y^2) -\cos(e^{xy})ye^{xy}$. $\quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y\sin(x^2-y^2)-\cos(e^{xy})xe^{xy}$.
I4) Si consideri la funzione $f(x,y)= \frac{xy}{x^2+y^2}$ definita e continua in $A=\mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\}$. Dimostrare che il $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$ non esiste.
Soluzione: Si ha $\lim_{x\to 0} f(x,0) = 0 = \lim_{y\to 0} f(0,y)$. D'altra parte $\lim_{h\to 0} f(h,h) = \frac{1}{2}$. Poiche' questi limiti sono diversi si ha l'asserto. Un altro modo per dimostrare la stessa cosa è il seguente. Si introducano coordinate polari $x=\rho\cos(\theta),\ y=\rho\sin(\theta)$. Allora se $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$ esiste deve essere
$\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) = \lim_{\rho\to 0} f(\rho\cos(\theta),\rho\sin(\theta))$, e questo deve essere indipendente da $\theta$. Ma non è così. Infatti:
$\lim_{\rho\to 0} \cos(\theta)\sin(\theta) = \cos(\theta)\sin(\theta)$ dipende da $\theta$.
Osservazione: una conseguenza della non esistenza del $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$ è che $f$ non può essere estesa ad una funzione continua in tutto $\mathbb{R}^2$. Però estendendo la $f$ in $(0,0)$ dandogli il valore $0$ si ottiene una funzione è derivabile in $(0,0)$ (le sue derivate parziali esistono e sono entrambe uguali a $0$, Es. 4.6 p. 123). Quindi la derivabilità non implica la continuità.
I5) Dimostrare che la funzione $f(x,y)= +\sqrt{x^2+y^2}$ non è derivabile in $(0,0)$. Quindi la continuità non implica la derivabilità.
Soluzione: Le derivate parziali $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{x^2+y^2}$, $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{x^2+y^2}$ non hanno significato in $(0,0)$. Calcolando direttamente il rapporto incrementale si vede che il $\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\sqrt{(\Delta x)^2}}{\Delta x}$ vale $1$ se $\Delta x >0$ e $-1$ se $0>\Delta x$. Quindi non esiste. Similmente per il rapporto incrementale rispetto a $y$.
I6) L'utilizzo di coordinate polari può essere utile per verificare che $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$ non esiste oppure che esiste. Le due circostanze sono però non sempre verificabili con tale metodo. Può darsi che $\lim_{\rho\to 0} f(\rho\cos(\theta),\rho\sin(\theta))$ esista e sia indipendente da $\theta$ ma ciononostante il $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$ non esista: un esempio è il 2.5, p. 104. D'altra parte un criterio per dedurre l'esistenza del $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$ usando coordinate polari è spiegato nell'esempio 2.3, p. 103.
I7) Determinare il più grande aperto $A$ in cui la funzione $f(x,y)= \ln \left(\tan \frac{x}{y}\right)$ è definita e calcolarne le derivate parziali in $A$ in tutti i punti in cui esistono. Calcolare il piano tangente in $p=(\pi/4,1)$ se è definito.
Soluzione: $A = \left\{(x,y): y\ne 0, k\pi < \frac{x}{y} < k\pi+ \frac{\pi}{2} \right\}$. Calcolando secondo le regole del calcolo differenziale si trova $\quad \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2}{y\sin\frac{2x}{y}}$,
$\quad \frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{2x}{y^2\sin\frac{2x}{y}}$. Queste funzioni sono definite e continue in $A$
e quindi la funzione è di classe $C^1(A)$. Si ha $f(p)= 0$, $\quad\nabla f(p)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(p),
\frac{\partial f}{\partial y}(p)\right) = (2,-\pi/2)$. Quindi il piano tangente è $z=2(x-\frac{\pi}{4})-\frac{\pi}{2}(y-1)$.
I8) Determinare il più grande aperto $A$ in cui è definita la funzione $f(x,y)= \sqrt{x^2-y^2}$ e calcolarne le derivate parziali se esistono. Discutere la derivabilità di $f$ in $(0,0)$.
Soluzione:
$A = \{(x,y): x>y,\ x>-y\} \cup \{(x,y): y>x,\ -y>x\}$.
$\ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}}$;
$\quad \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{y}{\sqrt{x^2-y^2}}$. In $(0,0)$ il rapporto incrementale rispetto a $y$ non è definito e quindi nemmeno $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$. Il rapporto incrementale rispetto a $x$ è uguale a $\frac{|h|}{h},\ h\ne 0$ e quindi è definito ma il suo limite per $h\to 0$ non esiste. Quindi $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ non esiste.
I9) Determinare il più grande aperto $A$ in cui è definita la funzione $f(x.y)= \ln(x+\sqrt{x^2+y^2})$ e calcolarne le derivate parziali se esistono.
Soluzione: $A=\{(x,y): x+||(x,y)||>0\}$. $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$, $\quad \frac{\partial f}{\partial y}= \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}(x+\sqrt{x^2+y^2})}$.
I10) Calcolare le derivate parziali $\frac{\partial f}{\partial x}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}$ della funzione composta $f(u(x,y),v(x,y))$ dove $u=x^2-y^2$, $v=e^{xy}$, e $f(u,v)=\cos u - \sin v$,
nel suo aperto di definizione.
Soluzione: $\frac{\partial f}{\partial x} = -2x\sin(x^2-y^2) -\cos(e^{xy})ye^{xy}$. $\quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y\sin(x^2-y^2)-\cos(e^{xy})xe^{xy}$.
I11) Trovare i punti critici delle seguenti funzioni e classificarli: a) $x^2+xy+y^2-4x-2y$,
b) $x^3+y^3-3xy$, c) $x^3+3xy^2-15x-12y$.
Soluzione: a) $(2,0)$; minimo locale. b) $(0,0)$ sella. $(1,1)$ minimo locale. c) $(1,2)$ sella; $(2,1)$ minimo locale; $(-1,-2)$ sella; $(-2,-1)$ massimo locale.