K1) Un sottoinsieme $A \subset \mathbb{R}^n$ si dice stellato rispetto ad un suo punto $p\in A$ se per ogni $q\in A$ il segmento $\overline{pq}$ è interamente contenuto in $A$. Dire quali dei seguenti sottoinsiemi di $\mathbb{R}^2$ sono stellati rispetto a qualche loro punto.
$A=\{(x,y): x^2-y^2 \ne 0 \}$; $B= \{(x,y): x^2+y^2 \ge 1\}$;
$C=\mathbb{R}^2\setminus \{(t,t): -1 \le t \le 1\}$; $D=\{(x,y): x+y > 0 \}$.
$E= \mathbb{R}^2\setminus \{(x,0): x\le 0\}$.
Soluzione: $A$ non è stellato rispetto ad alcun punto perche' è sconnesso.
$B$ non è stellato rispetto ad alcun punto perche' per ogni $p\in B$ il segmento che lo congiunge al suo simmetrico rispetto all'origine non è contenuto nell'insieme.
Lo stesso ragionamento dimostra che $C$ non è stellato rispetto ad alcun suo punto.
$D$ è convesso e quindi è stellato rispetto ad ogni suo punto.
$E$ è stellato rispetto a ogni punto $(x,0)$ con $x > 0$.
K2) Calcolare il lavoro di $F(x,y)=(y^2,x^2)$ lungo
$\alpha(t)=(a\cos(t),b\sin(t))$, $0\le t \le \pi$, dove $a,b >0$. Verificare se $F$ è conservativo.
Soluzione: $\int_{\alpha}Fd\alpha = \int_0^\pi -b^2a\sin^3(t)dt+\int_0^\pi a^2b\cos^3(t)dt=
-b^2a \left[-\cos(t)+\frac{1}{3}\cos^3(t)\right]_0^\pi +a^2b\left[\sin(t)-\frac{1}{3}\sin^3(t)\right]_0^\pi=
-\frac{4}{3}ab^2$.
$F$ non è conservativo perche'
$\frac{\partial F_x}{\partial y} = 2y \ne 2x = \frac{\partial F_y}{\partial x}$.
K3) Verificare se $F(x,y)=(4x+2y,2x-6y)$ definito in $\mathbb{R}^2$ è conservativo e in tal caso calcolarne un suo potenziale.
Soluzione: Si ha $\frac{\partial F_x}{\partial y} = 2 = \frac{\partial F_y}{\partial x}$. Pertanto $F$ è irrotazionale. Poiche' $F$ è definito in tutto $\mathbb{R}^2$, che è convesso, segue che $F$ è conservativo. Un suo potenziale $U$ si ottiene considerando le seguenti condizioni che $U$ deve soddisfare:
$\frac{\partial U}{\partial x}=F_x,\quad \frac{\partial U}{\partial y}=F_y$. Se ne deduce rispettivamente che $U=2x^2+2xy+C(y)$ e $U= 2xy-3y^2+D(x)$, dove $C(y)$ è una funzione della sola $y$ e $D(x)$ è una funzione della sola $x$. Ponendo $C(y)=-3y^2$ e
$D(x)=2x^2$ si ottiene la funzione $U=2x^2-3y^2+2xy$ che soddisfa le condizioni richieste.
K4) Calcolare $\int_\alpha Fd\alpha$ dove $F(x,y)=(x+y,x+y)$ e $\alpha(t)=(t,t)$, $0 \le t \le 1$.
Dimostrare che $F$ è conservativo e calcolarne un potenziale in $\mathbb{R}^2$.
Soluzione: $\int_\alpha Fd\alpha=2$. Evidentemente $F$ è irrotazionale e quindi conservativo. Un potenziale è $U= xy+\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}$.