C1) In $\mathbb{R}^3$ determinare:
a) un'equazione cartesiana del piano di giacitura $\langle(1,-1,3),(2,2,5)\rangle$ e passante per il punto $P=(-1,-2,7)$.
Soluzione: $\left|\begin{array}{ccc} X+1&Y+2&Z-7 \\ 1&-1&3 \\ 2&2&5 \end{array}\right|=0$, cioè $11X-Y-4Z+37=0$.
b) Equazioni parametriche della retta $r: 2X-Y+3=0=6Y-Z+11$. Soluzione: Come vettore di direzione si può prendere $(2,-1,0)\wedge (0,6,-1) = (1,2,12)$. Il punto $P=(-3/2,0,11)$ appartiene alla retta e quindi
$x=-3/2+t, \ y=2t, \ z=11+12t$, $\quad t \in \mathbb{R}$, sono equazioni parametriche.
c) Equazioni cartesiane della retta passante per $P=(1,1,3)$ e avente vettore di direzione $(-5,0,4)$.
Soluzione: Basta considerare la matrice $\left(\begin{array}{ccc} X-1&Y-1&Z-3 \\ -5&0&4\end{array}\right)$ ed estrarne due minori ottenuti orlandone un elemento non nullo, ad esempio $-5$; si ottiene $Y-1=0=4X+5Z-19$.
d) Un'equazione cartesiana ed equazioni parametriche del piano parallelo al piano $2Z-1=0$ e passante per $P=(6,7,8)$. Soluzione: equazione cartesiana $2Z-16=0$.
La giacitura ha equazione $Z=0$, quindi è $\langle (1,0,0),(0,1,0)\rangle$. Pertanto le equazioni parametriche sono: $x=6+a, \ y=7+b, \ z=8$.
e) Equazioni parametriche e cartesiane della retta parallela alla retta dell'esempio b) e passante per $(1,2,3)$.
Soluzione: $x=1+t, \ y=2+2t, \ z=3+12t$. Equazioni cartesiane si ottengono come nell'esempio c) prendendo la matrice
$\left(\begin{array}{ccc} X-1&Y-2&Z-3 \\ 1&2&12\end{array}\right)$. Si ottengono le equazioni $2X-Y=0=12X-Z-9$.
f) Equazioni parametriche e cartesiane della retta passante per $P=(-2,-3,5)$ e perpendicolare al piano $X+Y-Z=8$. Soluzione: Equazioni parametriche: $x=-2+t,\ y=-3+t,\ z=5-t$.
Equazioni cartesiane: $X-Y-1=0$, $\ X+Z-3=0$.
g) Un'equazione cartesiana del piano passante per $P=(1,5,-1)$ e perpendicolare alla retta $r$ dell'esempio b). Soluzione: Tutti i piani perpendicolari ad $r$ sono della forma $X+2Y+12Z+D=0$ (fascio improprio di piani). Imponendo il passaggio per $P$ si calcola $D=1$. Quindi il piano è: $X+2Y+12Z+1=0$.
C2) Determinare un'equazione cartesiana del piano di $\mathbb{R}^3$ individuato dai punti $P=(0,0,0), Q=(1,0,1), R=(2,-1,1)$.
Soluzione: Il piano ha giacitura individuata dai vettori $PQ=(1,0,1)$ e $PR=(2-1,1)$ e passa per $P$. Quindi ha equazione $\left|\begin{array}{ccc}X&Y&Z \\ 1&0&1 \\ 2&-1&1\end{array}\right|=0$
cioè $X+Y-Z=0$.
C3) Scrivere un'equazione cartesiana del piano di $\mathbb{R}^3$ a) passante per il punto $(\sqrt{8},1,-2\sqrt{3})$ e parallelo al piano di equazione $\sqrt{2} X-Y+\sqrt{3} Z - \sqrt{5}=0$;
$\ $ b) passante per il punto $P=(1,-1,1)$ e per la retta di equazioni: $\frac{X}{2}=\frac{Y+3}{-1} = \frac{Z-1}{3}$;
$\ $ c) passante per il punto $(1,-1,1)$ e perpendicolare alla retta di equazioni: $\frac{X}{2}=\frac{Y+3}{-1} = \frac{Z-1}{3}$.
Soluzione: a) $\sqrt{2} X-Y+\sqrt{3} Z+3=0$.
b) Il fascio di piani determinato dalla retta ha equazione $\lambda (X+2Y+6) + \mu(3X-2Z+2)=0$ La condizione di passaggio per il punto $P$ equivale a
$5\lambda+3\mu=0$ e quindi il piano cercato è $-3(X+2Y+6) + 5 (3X-2Z+2)=0$, cioè $6X-3Y-5Z-4=0$.
c) La retta ha vettore di direzione $v=(2,-1,3)$. Quindi il piano ha equazione $2X-Y+3Z+D=0$ e la condizione di passaggio per $P$ dà la condizione $D=-6$. Quindi il piano è $2X-Y+3Z-6=0$.
C4) Scrivere un'equazione cartesiana del piano di $\mathbb{R}^3$ a) contenente la retta $r: 3X-2Y+Z-1=0=X-2Y+3Z+1$ e parallelo alla retta $s: x=1+t, \ y=2+2t, \ z=3+3t$.
$\ $ b) passante per il punto $(2,1,-3)$ e parallelo alle rette $r: \frac{X}{2} = 2-y=\frac{Z}{2}$, $\ s: X=Y=0$.
Soluzione: a) La retta $s$ ha vettore di direzione $(1,2,3)$; il piano cercato appartiene al fascio di centro $r$, quindi ha equazione $(3\lambda+\mu)X-2(\lambda+\mu)Y+(\lambda+3\mu)Z+(\mu-\lambda)=0$. La condizione di parallelismo dà: $\ 3\lambda+\mu-4(\lambda+\mu)+3(\lambda+3\mu)=0$, cioè $\lambda+3\mu=0$. Pertanto il piano cercato è $2X-Y-1=0$.
b) La giacitura del piano è generata dai vettori di direzione delle due rette e cioè $(2,-1,2), (0,0,1)$. Quindi ha equazione
$\left|\begin{array}{ccc}X-2&Y-1&Z+3 \\ 2&-1&2 \\ 0&0&1\end{array}\right|=0$, cioè $X+2Y-4=0$.
C5) Determinare la retta di $\mathbb{R}^3$ passante per $P=(1,2,0)$, perpendicolare alla retta $r:X-Y+1=Y+2Z-2=0$ e incidente la retta $s: X-Y=Z+1=0$.
Soluzione: $r$ ha vettore di direzione $(2,2,-1)$ e quindi la retta cercata appartiene al piano di equazione $2(X-1)+2(Y-2) - Z=0$, cioè $2X+2Y-Z-6=0$. Questo piano incontra la retta $s$ nel punto $(5/4,5/4,-1)$. Quindi la retta cercata ha vettore di direzione $(1,-3,-4)$ ed equazioni parametriche: $x=1+t, \ y=2-3t, \ z=-4t$.
C6) Determinare la posizione reciproca delle due seguenti rette di $\mathbb{R}^3$ in funzione del parametro $k\in \mathbb{R}$:
$\quad r:\frac{X-1}{2} = Y+1 = \frac{Z}{3}$, $\quad s: X=t, \ Y=k-2+2t, \ Z=-3+3t$.
Soluzione: La direzione di $s$ è $\langle(1,2,3)\rangle$ ed è indipendente da $k$. La direzione di $r$ è $\langle(2,1,3)\rangle$. Quindi $r$ ed $s$ possono solo essere incidenti o sghembe perche' non sono mai parallele. Dopo aver ricavato equazioni cartesiane di $s$: $X-2Y-3=0=3Y-Z+3$, la condizione affinche' $r$ ed $s$ siano incidenti è che si abbia:
$\left|\begin{array}{ccc}1&-2&0&-3 \\ 0&3&-1&3 \\ 2&-1&0&k-2\\3&0&-1&-3\end{array}\right|=0$, che equivale a $k=-1$. Quindi $r$ ed $s$ sono incidenti per $k=-1$ e sghembe altrimenti.
C7) Dire per quale valore del parametro $a\in \mathbb{R}$ le due rette $2X+Y+2Z-1=0=aX+Y+Z-10$, $\quad \frac{X+3}{2} = \frac{Y+2}{3} = \frac{6-Z}{4}$ sono incidenti e trovare il piano che le contiene e il loro punto di intersezione.
Soluzione: Ricaviamo equazioni cartesiane di $s:\ 3X-2Y+5=0=4Y+3Z-10$. Poiche' $r$ ed $s$ non sono parallele, la matrice dei coefficienti delle incognite ha rango 3 e quindi la condizione di incidenza si ottiene annullando il determinante della matrice completa del sistema (Rouche'-Capelli), cioè ponendo
$\left|\begin{array}{cccc}2&1&2&-1 \\ a&1&1&-10 \\ 3&-2&0&5 \\ 0&4&3&-10\end{array}\right|=0$ che fornisce il valore
$a=3$. Risolvendo il sistema si trova il punto di intersezione, che è $\ P=(3,7,-6)$. Il piano contenente le due rette è quello passante per $P$ e avente giacitura generata dai vettori di direzione delle due rette, che sono $v_r=(-1,4,-1)$ e $v_s=(2,3,-4)$. Quindi il piano cercato ha equazione cartesiana:
$\left|\begin{array}{ccc}X-3&Y-7&Z+6 \\ -1&4&-1 \\ 2&3&-4\end{array}\right|=0$. Si ottiene $\ 13X+6Y+11Z-15=0$.
C8) Determinare la retta passante per $P(1,3,2)$ e complanare con le rette $r: X=Y=0$, $\ s: X-Y+1=0=X+Z-1$.
Soluzione: La retta cercata si individua facilmente come intersezione del piano passante per $r$ e per $P$ con il piano passante per $s$ e per $P$. Utilizzando il metodo del fascio si trovano per i due piani rispettivamente le equazioni $3X-Y=0$ e $3X-2Y+Z+1=0$.
C9) Determinare, se esiste, il valore del parametro $m \in \mathbb{R}$ in corrispondenza del quale si ottiene una terna di punti allineati: $(3,0,0), \ (0,1,1), \ (m,m,m)$. Soluzione: $m=\frac{3}{4}$.
C10) Verificare se i seguenti tre piani appartengono ad uno stesso fascio: $X-Y+Z+5=0, \quad 2X-2Y+2Z+77=0, \quad -X+Y-Z=0$. Soluzione: SI. E' un fascio improprio.
C11) In ciascuno dei seguenti casi verificare la posizione reciproca delle seguenti rette. Nel caso siano complanari trovare un'equazione del piano che le contiene.
a) $r: x=1+t,\ y=-t,\ z=2+2t$. $\quad s: x=2-t,\ y=-1+3t, \ z=t$. $\quad$ b) $r: \ X+1=0=Z-2$, $\quad s:2X+Y-2Z+6=0=Y+Z-2$.
Soluzione: a) sghembe. b) incidenti: $2X-3Z+8=0$.
D) ISOMETRIE di $\mathbb{R}^2$
D1) Il punto medio del segmento di estremi $P(x_1,x_2)$ e $Q(y_1,y_2)$ è il punto $M=P+_a \frac{1}{2}\overline{PQ}=\left(\frac{x_1+y_1}{2},\frac{x_2+y_2}{2}\right)$.
D2) Il punto simmetrico di $P(x_1,x_2)$ rispetto a $C(c_1,c_2)$ è il punto $Q= C-_a \overline{CP}= C+_a \overline{PC}=P+_a2\overline{PC}=(2c_1-x_1,2c_2-x_2)$.
D3) Il punto simmetrico $\sigma(P)$ di $P(x_1,x_2)$ rispetto alla retta $r:A_1X_1+A_2X_2+c=0$ è il simmetrico di $P$ rispetto alla sua proiezione ortogonale $C$ su $r$. Quindi $\sigma(P)= P+_a 2\overline{PC}$. Per calcolare $C$ in funzione di $P$ e di $r$ e quindi il vettore $\overline{PC}$, si procede nel modo seguente.
Si considera il vettore $\mathbf{n}=(A_1,A_2)$, che è normale ad $r$, e si considera un punto qualsiasi $Q=(a_1,a_2)\in r$.
Allora:
$\overline{PC}= \left(\frac{1}{\mathbf{n}\bullet \mathbf{n}}\overline{PQ}\bullet \mathbf{n}\right) \mathbf{n} = \frac{A_1(a_1-x_1)+A_2(a_2-x_2)}{A_1^2+A_2^2}(A_1,A_2)=$. Ora si osserva che
$A_1a_1+A_2a_2=-c$ e quindi si ottiene $\overline{PC}= \frac{-(A_1x_1+A_2x_2+c)}{A_1^2+A_2^2}(A_1,A_2)$. Quindi: $\sigma(P)= (x_1,x_2)-2 \frac{A_1x_1+A_2x_2+c}{A_1^2+A_2^2}(A_1,A_2)$. Si osservi che questa formula coinvolge solo le coordinate di $P$ e i coefficienti di $r$, mentre il punto $Q$ non compare.
Ad esempio, se $r:X_1-X_2=0$ (la bisettrice del primo e terzo quadrante) si trova $\sigma(x_1,x_2)=(x_2,x_1)$.
D4) Siano $P=(-1,3), Q=(2,-4)\in \mathbb{R}^2$. Determinare il punto simmetrico di $P$ rispetto a $Q$ e il simmetrico di $Q$ rispetto a $P$.
Soluzione: $\sigma_Q(P)= 2Q-P= (5,-11)$, e $\sigma_P(Q)=2P-Q=(-4,10)$.
D5) Determinare il punto simmetrico di $P=(-1,3)\in \mathbb{R}^2$ rispetto alla retta
$r: X_1-2X_2+2=0$.
Soluzione: $\sigma_r(P)= (-1,3)-2\frac{(-5)}{5}(1,-2)=(1,-1)$.
D6) Determinare la retta simmetrica della retta $r: X_1-2X_2+2=0$ rispetto alla retta $s: X_1-X_2=0$.
Soluzione: La retta cercata è quella passante per il punto $C=s\cap r$, che è $C=(2,2)$,
e per il simmetrico $\sigma_s(Q)$ di un qualsiasi altro punto $Q\in r$. Scegliamo ad esempio $Q=(0,1)$. Allora $\sigma_s(Q)=(1,0)$. La retta cercata ha pertanto equazione
$\left|\begin{array}{cc}X_1-1&X_2\\1&2\end{array}\right|=0$, cioè $2X_1-X_2-2=0$.
D7) Sia $A \in \mathrm{GL}_{\mathbb{R}}(n)$ e $C\in \mathbb{R}^n$. L'affinità di $\mathbb{R}^n$ definita mandando $X \mapsto AX+C$ si denota con $f_{A,C}$. L'inversa di $f_{A,C}$ è
$f_{A^{-1},-A^{-1}C}$. Infatti la composizione $f_{A^{-1},-A^{-1}C}\cdot f_{A,C}$ manda $X$ in
$[f_{A^{-1},-A^{-1}C}\cdot f_{A,C}](X) = f_{A^{-1},-A^{-1}C}(f_{A,C}(X)) = f_{A^{-1},-A^{-1}C}(AX+C) = A^{-1}(AX+C)-A^{-1}C = X$ e quindi coincide con l'identità di $\mathbb{R}^n$.