Complementi di Matematica (A-K)- a.a. 2015/2016

ESERCIZI E COMPLEMENTI - parte 3



E) CONICHE

E1) Data una conica $\mathcal{C}$ una sua prima classificazione si fa considerandone la matrice $A$ e la sottomatrice $A_0$ dei coefficienti di termini quadratici. I casi possibili sono 7, e precisamente:
ellisse, iperbole e parabola non degeneri (det$(A) \ne 0$ e det$(A_0) >,<,= 0$),
ellisse e iperbole degeneri (det$(A)=0$ e det$(A_0) >,< 0$)
parabola semplicemente degenere (det$(A)=0$ e det$(A_0)=0$ ma rango$(A)=2$)
parabola doppiamente degenere (rango$(A)=1$).
Tra questi casi se ne distinguono altri due, perche' l'ellisse non degenere può essere a punti reali oppure no, e similmente la parabola semplicemente degenere può essere a punti reali oppure no. La distinzione si può fare con sicurezza dopo averle portate in forma canonica, a meno che non si riesca a stabilirlo prima individuandone qualche punto reale. Le coniche doppiamente degeneri sono sempre il quadrato di una retta.

E2) Vediamo ora come si procede per portare una conica in forma canonica. Il procedimento è diverso a seconda che la conica sia a centro (det$(A_0)\ne 0$) oppure sia una parabola (det$(A_0)=0$).
Come esempio del caso a centro si consideri la conica $\mathcal{C}: X_1^2+X_2^2+X_1X_2+X_1+X_2-1 =0$. La sua matrice è $A = \left(\begin{array}{ccc}-1&1/2&1/2 \\ 1/2&1&1/2 \\ 1/2&1/2&1 \end{array}\right)$ e la matrice dei coefficienti delle incognite è $A_0=\left(\begin{array}{cc}1&1/2\\ 1/2&1 \end{array}\right)$. Si ha det$(A)=-1$ e det$(A_0)=3/4>0$ e quindi $\mathcal{C}$ è un'ellisse non degenere. In particolare è una conica a centro. Le coordinate del suo centro di simmetria $C$ sono le soluzioni del sistema: $X_1+\frac{1}{2}X_2+\frac{1}{2}=0, \ \frac{1}{2}X_1+X_2+\frac{1}{2}=0$ e quindi $C=(-1/3,-1/3)$. Eseguendo la traslazione $X_1=Y_1-1/3,\ X_2=Y_2-1/3$ si porta il centro nell'origine e la conica trasformata di $\mathcal{C}$ è: $\ Y_1^2+Y_2^2+Y_1Y_2=\frac{4}{3}$. La forma quadratica a primo membro ha autovalori $1/2$ e $3/2$ e viene diagonalizzata dalla rotazione di matrice $M=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$. Applicando la rotazione $\mathbf{Y}=M\mathbf{Z}$ si ottiene l'equazione $\frac{Z_1^2}{2}+\frac{3Z_2^2}{2}=\frac{4}{3}$. Poiche' il termine costante a secondo membro è positivo si tratta di un'ellisse a punti reali. L'equazione canonica della conica $\mathcal{C}$ si ottiene dividendo per $\frac{4}{3}$ e quindi è: $\frac{3}{8}Y_1^2+\frac{9}{8}Y_2^2 = 1$.
Tutti gli altri casi di coniche a centro, degeneri o no, si trattano nello stesso modo. Nel caso degenere è possibile semplificare ulteriormente il procedimento.

E3) Illustriamo ora il caso delle parabole, discutendo un esempio. Consideriamo la conica $\mathcal{C}: X_1^2+X_2^2-2X_1X_2-2X_2=0$. Abbiamo $A = \left(\begin{array}{ccc}0&0&-1 \\ 0&1&-1 \\ -1&-1&1 \end{array}\right)$ e $A_0=\left(\begin{array}{cc}1&-1\\ -1&1 \end{array}\right)$. Quindi $\mathcal{C}$ è una parabola nondegenere. In questo caso è più conveniente effettuare subito la rotazione, cercando una base ortonormale di autovettori di $A_0$. Il polinomio caratteristico è $\lambda^2-2\lambda$ e quindi gli autovalori sono $\lambda=0,2$. Gli autospazi sono $V_0=\langle (1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})\rangle$ e $V_{2}= \langle (-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})\rangle$. Pertanto la rotazione è: $\underline{X}=M\underline {Y}$ dove $M=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$. Sostituendo si ottiene la conica $2Y_2^2- \sqrt{2}Y_1- \sqrt{2}Y_2=0$. La traslazione $Y_1=Z_1, \ Y_2 = Z_2 + \frac{\sqrt{2}}{4}$ ci dà la conica: $2Z_2^2-\sqrt{2} Z_1- 1/4=0$. Eseguiamo infine la traslazione $Z_1= T_1 - \frac{1}{4\sqrt{2}}, \ Z_2=T_2$. Otteniamo $2T_2^2-\sqrt{2} T_1=0$, ovvero $T_2^2 - \frac{1}{\sqrt{2}}T_1=0$. Questa è la forma canonica.

E4) Classificare le seguenti coniche: a) $\ 5X_1^2-26X_1X_2+5X_2^2+72=0$; b) $\ 3X_1^2-8X_1X_2-3X_2^2+10=0$; c) $\ 2X_2^2+2\sqrt{3}X_1X_2-2\sqrt{3}X_1+2X_2-5=0$; d) $\ 9X_1^2+16X_2^2+24X_1X_2-40 X_1+30 X_2=0$; e) $\ 2X_1^2+4X_1X_2+5X_2^2-12=0$; f) $\ X_1^2+2X_1X_2+X_2^2-X_1-X_2=0$; g) $\ (2X_1+X_2)^2+1=0$.
Soluzioni: a),b) e c) iperbole non degenere. d) parabola non degenere. e) ellisse a punti reali. f) parabola semplicemente degenere a punti reali. g) parabola semplicemente degenere a punti immaginari.