Complementi di Matematica (A-K)- a.a. 2014/2015

ESERCIZI E COMPLEMENTI - parte 8



J) INTEGRALI DOPPI



J1) Calcolare in coordinate polari, il seguente integrale doppio: $\mathbf{I}=\int\int_{D}(x+y)dxdy$, dove $D$ è il settore circolare di centro l'origine e raggio 1, con $0 \le \theta \le \frac{\pi}{4}$.
Soluzione: $\mathbf{I}= \int_0^1\left(\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\rho\cos(\theta)+\rho\sin(\theta))\rho d\theta\right)d\rho = \int_0^1\rho^2d\rho\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos(\theta)+\sin(\theta))d\theta = \frac{1}{3} \left[\sin(\theta)-\cos(\theta)\right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{3}$.

J2) Calcolare in coordinate polari, il seguente integrale doppio: $\mathbf{I}= \int\int_D \sqrt{x^2+y^2}dxdy$, dove $D$ è l'insieme delimitato dalla curva di equazione polare $\rho=\sin(2\theta)$, con $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$.
Soluzione: $\mathbf{I}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_0^{\sin(2\theta)}\rho^2 d\rho= \frac{1}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3(2\theta)d\theta = \frac{1}{6}\int_0^{\pi}\sin^3(\alpha) d\alpha = -\frac{1}{6}\left[\cos(\alpha)\left(1-\frac{\cos^2(\alpha)}{3}\right)\right]_0^\pi = \frac{2}{9}$.

J3) Calcolare $\mathbf{I}=\int\int_D \sqrt{1-y^2} dx dy$, dove $D$ è il cerchio di raggio 1 e centro il punto $(1,0)$.
Soluzione: $\mathbf{I}= \frac{8}{3}$. Suggerimento: Il dominio $D$ può essere rappresentato sia in forma $x$-semplice che $y$-semplice. Poiche' l'integrando è costante rispetto a $x$ conviene integrare prima rispetto alla $x$, cioè rappresentare $D$ in forma $y$-semplice. L'equazione della circonferenza è $(x-1)^2 + y^2=1$. Quindi, esplicitando la $y$ otteniamo: $ D = \{(x,y):-1\le y \le 1, 1-\sqrt{1-y^2} \le x \le 1+\sqrt{1-y^2}\}$. L'integrale diventa:
$\mathbf{I}= \int_{-1}^1\sqrt{1-y^2}\left(\int_{1-\sqrt{1-y^2}}^{1+\sqrt{1-y^2}}dx\right)dy = 2\int_{-1}^1 (1-y^2)dy = 2\left[y-\frac{y^3}{3}\right]_{-1}^1 = \frac{8}{3}$.

J4) Calcolare $\mathbf{I}=\int\int_{[0,1]\times [0,1]} \frac{x^2}{1+y^2}dxdy$.
Soluzione: $\mathbf{I}= \frac{\pi}{12}$.

J5) Calcolare $\mathbf{I}=\int\int_D \frac{x^2}{y^2}dxdy$, dove $D = \{(x,y): 1\le x \le 2, \frac{1}{x} \le y \le x \}$.
Soluzione: $\mathbf{I}= \frac{9}{4}$.

J6) Calcolare $\mathbf{I}=\int\int_D y^2\sin(x)dxdy$ dove $D= \{(x,y): 0 \le x \le \pi, \ 0 \le y \le 1+\cos(x)\}$.
Soluzione: $\mathbf{I}= \frac{4}{3}$.

J7) Calcolare $\mathbf{I}=\int\int_D (x+y)dxdy$ dove $D= \{(x,y): 0 \le y \le 3, 1 \le x \le \sqrt{4-y}\}$.
Soluzione: $\mathbf{I}= \frac{241}{60}$. Si osservi che il dominio $D$ è assegnato in forma $y$-semplice. In tale forma il calcolo dell'integrale può risultare difficoltoso perche' nell'integrando compaiono dei radicali. Però è possibile semplificare i calcoli rappresentando il dominio $D$ in forma $x$-semplice nel modo seguente:
$D= \{(x,y): 1 \le x \le 2, 0 \le y \le 4-x^2\}$.
Utilizzando questa descrizione di $D$ i calcoli sono molto più semplici.

J8) Calcolare $\mathbf{I}= \int\int_D xydxdy$ dove $D$ è il dominio delimitato dalle due parabole di equazioni: $y^2=4x,\ x^2=4y$.
Soluzione: Le due curve si incontrano in $(0,0)$ e in $(4,4)$. Quindi $D = \{(x,y): 0 \le x \le 4, \frac{x^2}{4} \le y \le 2 \sqrt{x}\}$. Pertanto
$\mathbf{I}= \int_0^4x\left(\int_{x^2/4}^{2\sqrt{x}} y dy \right) dx = \int_0^4x\left[\frac{y^2}{2}\right]_{x^2/4}^{2\sqrt{x}} dx = \int_0^4x\left(2x^2-\frac{x^5}{32}\right)dx = \frac{64}{3}. $

J9) Calcolare il volume della sfera di centro l'origine e raggio $r$.
Soluzione: Il volume cercato è $V= 8 I$ dove $I=\int\int_D\sqrt{r^2-x^2-y^2}dxdy$ e $D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:0\le x \le r, 0 \le y \le \sqrt{r^2-x^2}\}\subset \mathbb{R}^2$. Pertanto $I=\int_0^r\left(\int_0^{\sqrt{r^2-x^2}}\sqrt{r^2-x^2-y^2}dy\right)dx$. Iniziamo con il calcolare l'integrale $J$ tra parentesi. Effettuiamo il cambiamento di variabili $y = \sqrt{r^2-x^2}\sin\theta$; si ha $dy=\sqrt{r^2-x^2}\cos\theta d\theta$ e $0\le \theta\le \pi/2$. Quindi:
$J = \int_0^{\sqrt{r^2-x^2}}\sqrt{r^2-x^2-y^2}dy = (r^2-x^2) \int_0^{\pi/2}\cos^2\theta d\theta = \frac{r^2-x^2}{2}[1+\cos(2\theta)]_0^{\pi/2}= \frac{\pi(r^2-x^2)}{4}$. Ora abbiamo: $I = \int_0^r Jdx = \frac{\pi}{4}[r^2x-\frac{x^3}{3}]_0^r = \frac{\pi}{4} (r^3-\frac{r^3}{3}) = \frac{\pi r^3}{6}$. Infine $V = 8 I = \frac{4}{3}\pi r^3$.

J10) Calcolare $I=\int\int_R(x^2+y^2)dxdy$ dove $R$ è la regione del piano delimitata dalle curve $y=x^2, \ \ x=2, \ \ y=1$.
Soluzione: $R$ può rappresentarsi in forma $x$-semplice come $R = \{(x,y): 1 \le x \le 2, \ 1 \le y \le x^2\}$. Pertanto: $I=\int_1^2\left(\int_1^{x^2}(x^2+y^2)dy\right)dx$. Svolgendo i calcoli si trova $I = \frac{1006}{105}$.