1 (4/3/14). Forme bilineari simmetriche e prodotti scalari. Il prodotto scalare
standard su R^n, il modulo (o lunghezza) di un vettore, ortogonalità, disuguaglianza di Schwarz.
2 (4/3/14). Disuguaglianza triangolare. Proiezione di un vettore nella direzione di un
altro. Coefficiente di Fourier. Versori. Basi ortogonali e
ortonormali. Un esempio di prodotto scalare non standard.
3 (6/3/14). La matrice di una forma bilineare simmetrica rispetto ad una base. Se la base è ortogonale
(rispettivamente ortonormale) la matrice è diagonale (rispettivamente è la matrice identità).
4 (6/3/14). Cambiamenti di base ortonormale sono dati da matrici ortogonali.
Uso del coefficiente di Fourier per associare una base ortonormale ad una base qualsiasi in R^2.
5 (18/3/14). Ricapitolazione de esercizi su forme bilineari e matrici simmetriche. Criterio perche' una matrice simmetrica
definisca un prodotto scalare.
6 (18/3/14). Il procedimento di Gram-Schmidt. Basi ortonormali e matrici ortogonali.
7 (20/3/14). Operatori simmetrici (o unitari) e loro proprietà. Coordinate di un vettore rispetto a una base ortonormale. Esempi. Congruenza di matrici.
8 (20/3/14). Forme quadratiche. La forma bilineare polare di una forma quadratica. Il problema della diagonalizzazione delle forme quadratiche. Un esempio.
Il polinomio caratteristico di una matrice simmetrica ha solo radici reali.
9 (25/3/14). Operatori simmetrici o autoaggiunti. Loro proprietà. Il teorema spettrale. Rango, indici di positività, di negatività, segnatura di una forma quadratica.
10 (25/3/14). Forme definite, semidefinite, indefinite. Vettori isotropi. Il teorema di Sylvester. Basi di Sylvester. Discussione di esempi.
11 (27/3/14). Spazi affini e spazi euclidei. Sistemi di riferimento cartesiano, coordinate. Distanza tra due punti.
12 (27/3/14). Rette in un piano affine. Equazioni parametriche ed equazione cartesiana di una retta in un piano euclideo. Fasci (propri) di rette e loro utilizzo per determinare la retta per due punti.
13 (1/4/14). Condizione di parallelismo e condizione di ortogonalità di due rette. Angolo di due rette orientate. Distanza punto-retta. Fasci impropri.
14 (1/4/14). Area parallelogramma e area triangolo. Risoluzione di problemi di geometria piana dipendenti da parametri.
Prodotto vettoriale e prodotto misto in uno spazio vettoriale euclideo di dimensione 3.
15 (3/4/14). Equazioni parametriche ed equazione cartesiana di un piano. Parallelismo e incidenza tra piani.
Equazioni parametriche ed equazioni cartesiane di una retta. Posizione reciproca retta-piano.
16 (3/4/14). Calcolo di un vettore di direzione di una retta assegnata con equazioni cartesiane. Passaggio da equazioni parametriche a cartesiane. Esempi.
17 (8/4/14). Fasci di piani. Esercizi su rette e piani.
18 (8/4/14). Esercizi su rette e piani.
19 (10/4/14). Criteri per determinare la posizione reciproca di due rette. Retta per un punto e incidente due rette sghembe assegnate.
20 (10/4/14). Coniche. Matrice di una conica. Esempi. Enunciato del teorema di classificazione metrica delle coniche.
21 (15/4/14). Isometrie del piano euclideo. Traslazioni, rotazioni, isometrie inverse, simmetria rispetto a un punto, simmetria rispetto a una retta.
22 (15/4/14). Rappresentazione matriciale di una isometria. Trasformazione di una conica rispetto ad una isometria. Rango di una conica.
23 (17/4/14). Classificazione delle coniche a meno di isometrie.
24 (17/4/14). Metodo pratico per determinare il centro di una conica a centro. Esempi.
26 (29/4/14). Esempi. Integrazione lungo curve. Lunghezza di una curva e rettificabilità.
27 (6/5/14). Ascissa curvilinea. Versore normale principale. Curvatura. Raggio di curvatura. Piano osculatore. Centro di curvatura. Cerchio osculatore.
28 (6/5/14). Formule di Frenet nel piano. Versore binormale. Torsione. Il caso dell'elica circolare.
29 (7/5/14). Formule di Frenet nello spazio. Esempi.
30 (7/5/14). Formule per curvatura e torsione per curve a velocità arbitraria. Calcolo dell'apparato di Frenet su alcuni esempi.
31 (8/5/14).
Funzioni di più variabili e loro grafici. Limiti e continuità.
32 (8/5/14). Interno, esterno, frontiera e punti di accumulazione. Insiemi aperti e insiemi chiusi. Chiusura.
33 (13/5/14). Proprietà degli aperti e dei chiusi. Insiemi limitati, Insiemi connessi.
34 (13/5/14). Teorema di permanenza del segno. Teorema degli zeri. Teorema di Weierstrass.
Esempi di funzioni che non hanno limite. Derivate parziali di una funzione di due variabili.
35 (14/5/14). Derivate parziali di una funzione di un numero qualsiasi di variabili. Derivabilità. Gradiente. Esempi. Differenziabilità. Il differenziale.
36 (14/5/14). Differenziabilità implica continuità. Condizioni sufficienti per la differenziabilità. Derivate direzionali.
37 (15/5/14). La formula del gradiente. Piano tangente. direzioni di massima e di minima crescita. Direzioni perpendicolari alle curve di livello.
38 (15/5/14). Derivazione delle funzioni composte. Derivate parziali successive. Il teorema di Schwarz.
39 (20/5/14). Punti di massimo/minimo relativi (assoluti). Punti critici. Il teorema di Fermat. Punti di sella.
40 (20/5/14). Sviluppo di Taylor al secondo ordine. Matrice hessiana. Criteri per stabilire la natura di un punto critico utilizzando la matrice hessiana.
41 (22/5/14). Generalità sulle equazioni differenziali ordinarie. Soluzione generale. Condizioni iniziali. Esempi. Equazioni lineari del primo ordine.
42 (22/5/14). Esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy. Soluzione generale nel caso omogeneo e nel caso generale. Esempi.
43 (27/5/14). Ancora sulle equazioni differenziali lineari del primo ordine. Esempi e commenti.
44 (27/5/14). Equazioni a variabili separabili. Teorema di esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy. Esempi. Equazioni lineari del secondo ordine. Struttura dell'insieme delle soluzioni.
45 (29/5/14). Spazi di funzioni e operatori lineari. Il problema di Cauchy per le equazioni lineari del secondo ordine. Lo spazio delle soluzioni di un'equazione omogenea lineare del secondo ordine ha dimensione 2.
46 (29/5/14). Wronskiano e indipendenza lineare di soluzioni. Il caso delle equazioni omogenee a coefficienti costanti. Descrizione esplicita della soluzione generale.
47 (3/6/14). Definizione di integrale doppio di una funzione definita su un rettangolo. Significato geometrico. Riduzione al calcolo di due integrali di una variabile. Domini x-semplici, y-semplici, regolari. Integrabilità delle funzioni continue sui domini semplici. Area di un dominio semplice.
48 (3/6/14). Proprietà degli integrali doppi. Metodo di riduzione per gli integrali su domini semplici. Esempi. Il volume della sfera. L'area di un'ellisse.
49 (5/6/14). Generalità sulle funzioni a valori vettoriali. Matrice jacobiana. Il teorema della funzione inversa. Cambiamenti di coordinate. La formula del cambiamento di variabili negli integrali doppi.
50 (5/6/14). Campi vettoriali. Curve di flusso e curve integrali. Campi conservativi. Lavoro di un campo vettoriale lungo una curva. Circuitazioni. Caratterizzazione dei campi conservativi per mezzo del lavoro lungo curve. Rotore. Campi irrotazionali. I campi conservativi sono irrotazionali. Un esempio di non validità del viceversa. Cenni sugli aperti semplicemente connessi.
51 (10/6/14). Derivabilità e differenziabilità: ricapitolazione.
52 (10/6/14). Esercizi ed esempi sugli integrali doppi.
53 (12/6/14). Calcolo di volumi come integrali doppi.
54 (12/6/14). Esercizi su equazioni differenziali lineari del primo ordine.