8 (11/3/11). Topologia relativa definita su un sottoinsieme di uno spazio topologico.
Basi, intorni e sottospazi. La topologia relativa su un sottoinsieme di uno spazio metrizzabile.
9 (15/3/11). Restrizione di applicazioni. Ricoprimenti. Incollamento di applicazioni continue.
10 (15/3/11). Sottospazi notevoli dello spazio euclideo. Esempi di omeomorfismi.
11 (18/3/11). Topologia prodotto. Basi e topologia prodotto. Sottospazi di un prodotto.
12 (18/3/11). Topologia prodotto e proiezioni. Applicazioni continue da e verso un prodotto.
13 (22/3/11). Prodotto di una famiglia qualsiasi di spazi topologici. Topologia quoziente e identificazioni.
Caratterizzazione in termini di insiemi saturi.
14 (22/3/11). Gli omeomorfismi sono identificazioni. Esempi di identificazioni e di applicazioni continue e suriettive che non sono identificazioni.
15 (29/3/11). Spazio quoziente rispetto ad una relazione di equivalenza. Applicazioni compatibili con una relazione di equivalenza. Esempi di identificazioni definite da relazioni di equivalenza.
16 (29/3/11). Gli spazi proiettivi reali. Aperti fondamentali e iperpiani impropri.
17 (1/4/11). Spazi T1 e spazi T2 (o di Hausdorff). Esempi. unicità del limite delle successioni negli spazi T2. Compattezza. Esempi di spazi noncompatti.
18 (1/4/11) Il teorema di Heine-Borel. Compattezza, sottospazi e spazi di Hausdorff. Caratterizzazione dei
sottoinsiemi compatti di R
19 (5/4/11) Sottoinsiemi infiniti di spazi compatti. Spazi compatti e applicazioni continue. Il teorema di Tychonoff.
20 (5/4/11) Caratterizzazione dei sottoinsiemi compatti dello spazio euclideo. Connessione. L'immagine di uno spazio connesso rispetto a un'applicazione continua è connessa.
21 (8/4/11). Caratterizzazione dei connessi in R . Connessione e chiusura.
22 (8/4/11). Componenti connesse. Loro proprietà. Spazi totalmente sconnessi. Connessione e prodotto topologico. Il teorema del punto fisso.
23 (19/4/11). Sottoinsieme densi, Spazi separabili. Spazi metrizzabili e separabili soddisfano il secondo assioma di numerabilita'.
24 (19/4/11). Connessione per archi (p.a.). Spazi connessi p.a. sono connessi. Connessione p.a. di immagini continue di spazi connessi p.a.. Componenti connesse p.a.. Il prodotto topologico di spazi connessi p.a. è connesso p.a..
Esempi di spazi connessi che non sono connessi p.a.
25 (29/4/11). Varietà topologiche. Proprietà principali. Lo spazio proiettivo è una varietà.
26 (29/4/11). Esempi di superfici topologiche ottenute come quoziente. Il toro e il cilindro.
27 (3/5/11). Sfera e piano proiettivo come quozienti del disco e di un quadrato. Altri esempi di superfici.
28 (3/5/11). Poligoni etichettati. I loro quozienti sono superfici.
29 (6/5/11). Multitori e multipiani proiettivi. Enunciato del teorema di classificazione delle superfici quoziente di poligoni etichettati. Primi passi della dimostrazione.
30 (6/5/11). Conclusione della dimostrazione del teorema di classificazione.
31 (10/5/11). Triangolazioni. Compattezza e finitezza delle triangolazioni. Superfici compatte triangolabili e quozienti di poligoni etichettati.
32 (10/5/11). Triangolabilità delle superfici (solo enunciato). Caratteristica di Eulero-Poincare' (EP) di una triangolazione. Raffinamenti di triangolazioni.
33 (13/5/11). Invarianza della caratteristica per raffinamento. Esistenza di raffinamenti comuni
(solo enunciato). La caratteristica di EP di una superficie topologica compatta e connessa.
34 (13/5/11). Formula per il calcolo della caratteristica di EP del quoziente di un poligono etichettato. La caratteristica della sfera, dei multitori e dei multipiani proiettivi. Cenni sulla nozione di orientabilità.
La sfera, i multitori e i multipiani proiettivi sono a due a due non omeomorfi.
35 (17/5/11). Omotopia di applicazioni continue e sue proprietà. Omotopia relativa. Equivalenza di archi con stessi estremi. Composizione di archi e suo comportamento rispetto all'equivalenza.
36 (17/5/11). Il gruppo fondamentale di uno spazio topologico puntato. Struttura di gruppo. Indipendenza dalla scelta del punto in una componente connessa per archi. Spazi semplicemente connessi.
37 (20/5/11). Proprietà funtoriali del gruppo fondamentale. Spazi omeomorfi hanno gruppi fondamentali isomorfi.
38 (20/5/11). Omomorfismi tra gruppi fondamentali indotti da applicazioni omotope. Spazi omotopicamente equivalenti hanno gruppi fondamentali isomorfi. Gli spazi contraibili sono semplicemente connessi.
39 (24/5/11). Il lemma di sollevamento degli archi. Il lemma di sollevamento dell'omotopia (cenni di dimostrazione).
40 (24/5/11). Il gruppo fondamentale della circonferenza. Ritratti e ritrazioni. Il teorema del punto fisso di Brouwer per il disco chiuso unitario del piano.
41 (27/5/11). Semplice connessione di uno spazio unione di due aperti semplicemente connessi ad intersezione connessa per archi. Semplice connessione delle sfere di dimensione almeno 2.
42 (27/5/11). Il teorema fondamentale dell'algebra.