1 (1/3/17). Cenni storici sulle superfici di Riemann. Carte olomorfe su uno spazio topologico. Atlanti olomorfi. Equivalenza di atlanti. Esempi.
2 (1/3/17). Superfici di Riemann. Le superfici di R. sono superfici orientabili. Il genere di una superficie di R. compatta e connessa. La sfera di Riemann. I tori.
3 (3/3/17). Funzioni olomorfe sulle sup. di R. - Funzioni olomorfe sulla sfera di R. - Grafici. La retta proiettiva complessa.
4 (3/3/17). Funzioni olomorfe su $\mathbb P^1$. Curve piane affini. Il teorema delle funzioni implicite.
5 (7/3/17). Curve piane affini nonsingolari come superfici di Riemann. Singolarità delle funzioni: eliminabili, polari, essenziali. Funzioni meromorfe.
6 (7/3/17). Ordine di una funzione meromorfa in un punto. Le funzioni razionali sono meromorfe sulla sfera di Riemann.
7 (8/3/17). Tutte le funzioni meromorfe sulla sfera di Riemann sono razionali. Proprietà dell'ordine di una serie di Laurent. Sostituzione di una serie di ordine positivo in un'altra.
8 (8/3/17). Applicazioni olomorfe tra superfici di Riemann. Esempi. Corrispondenza tra funzioni meromorfe su X e applicazioni olomorfe da X a $\mathbb P^1$.
9 (14/3/17). Teorema dell'applicazione aperta. Suriettività di un'applicazione non costante tra superfici di Riemann compatte. Discretezza delle fibre. Le funzioni olomorfe sulle sup. di R. compatte sono solo le costanti.
10 (14/3/17). Funzioni ellittiche e funzioni meromorfe su un toro. La funzione $\wp$ di Weierstrass.
11 (15/3/17). Proprietà di $\wp$. Poli e zeri di una funzione ellittica.
12 (15/3/17). Ordine di ramificazione di una applicazione analitica tra superfici di Riemann. Rivestimenti ramificati. Costanza della somma degli ordini sui punti delle fibre di un rivestimento ramificato.
13 (21/3/17). Numero degli zeri è uguale al numero dei poli di una funzione meromorfa. Il teorema fondamentale dell'algebra.
14 (21/3/17). La formula di Riemann-Hurwitz. Esempi. Automorfismi di $\mathbb P^1$ e di $\mathbb C$.
15 (22/3/17). Curve piane proiettive nonsingolari. Calcolo del loro genere.
16 (22/3/17). Divisori. Divisore di una funzione meromorfa. Equivalenza lineare. Serie lineari.
17 (28/3/17). Gli spazi $L(D)$. Loro proprietà. Esempi.
18 (28/3/17). La dimensione degli spazi $L(D)$ su $\mathbb P^1$. Forme differenziali olomorfe e meromorfe.
19 (29/3/17). Divisori canonici. Loro equivalenza lineare. Esempi. Immagine inversa di una forma differenziale rispetto a una applicazione olomorfa.
20 (29/3/17). Molteplicità di $f^*\omega$ in un punto. Calcolo del grado di $(f^*\omega)$ dove $f: X \to \mathbb P^1$ è una funzione razionale.
21 (4/4/17). Immagine inversa di un divisore rispetto a una applicazione olomorfa e suo grado. Finito dimensionalità degli spazi $L(D)$. Esempi.
22 (4/4/17). Il teorema di Abel sui tori complessi.
23 (5/4/17). Gli spazi $L^1(D)$. Loro descrizione e finito-dimensionalità. Divisori speciali/non speciali. Enunciato del teorema di Riemann-Roch.
24 (5/4/17). Divisori effettivi su una curva piana nonsingolare definiti come intersezione con altre curve. Grado ed equivalenza lineare. Il teorema di Bezout.
25 (19/4/17). Archi. 1-forme e 2-forme di classe $C^\infty$. Integrazione lungo archi. Interazione di 2-forme su insiemi triangolabili.
26 (19/4/17). Residui di 1-forme meromorfe. Il teorema dei residui.
27 (26/4/17). Sistemi di code di Laurent. $\mathcal M(X)$ e $\mathcal M[D](X)$. Loro proprietà.
28 (26/4/17). Gli spazi $H^1(D)$. Il problema di Mittag-Leffler. La successione esatta fondamentale $0\to L(D)\to \mathcal M(X)\to \mathcal M[D](X) \to H^1(D)\to 0$.
29 (2/5/17). Il lemma deI serpente. Invarianza di una certa somma alterna di dimensioni.
30 (2/5/17). Utilizzo del teorema dei residui per stabilire relazione tra $H^1(D)$ e $L^{(1)}(-D)$. Il teorema di dualità di Serre (enunciato).
31 (3/5/17). Iniettività dell'applicazione di Serre. Formula finale di Riemann-Roch.
32 (3/5/17). Le tre definizioni di genere. Indice di specialità. Divisori speciali/non speciali. Geografia dei divisori speciali.
33 (9/5/17). Applicazioni olomorfe $\phi:X \to \mathbb P^r$. Loro indentificazione con i punti di $\mathbb P (\mathcal M(X))$.
34 (9/5/17). Il sistema lineare $|\phi|$ associato ad una applicazione olomorfa $\phi$. Punti base di un sistema lineare. Il sistema $|\phi|$ è privo di punti base.
35 (10/5/17). Il divisore $\phi^*H$ immagine inversa di un iperpiano $H\subset \mathbb P^r$. Identificazione di $|\phi|$ con l'insieme dei $\phi^*H$.
36 (10/5/17). Il divisore fisso di un sistema lineare. Caratterizzazione delle applicazioni olomorfe $\phi: X \to \mathbb P^r$ che sono iniettive.
37 (16/5/17). Caratterizzazione delle applicazioni olomorfe $\phi: X \to \mathbb P^r$ che sono immersioni.
38 (16/5/17). Esempi di immersioni in genere 1 e 2. Ogni superficie di Riemann di genere 0 è isomorfa a $\mathbb P^1$. Ogni superficie di Riemann di genere 1 è isomorfa a una cubica piana nonsingolare.
39 (19/5/17). Curve iperellittiche. Loro esistenza e descrizione (trattazione incompleta).
40 (19/5/17). La serie canonica. Sue proprietà. Il modello canonico di una curva non iperellittica e quello di una curva iperellittica.
41 (23/5/17). Lezione di ricapitolazione del programma con cenni storici.