Dipartimento di Matematica

Roma TRE




AL5 - Fondamenti di Algebra Commutativa


a.a. 2008/2009 -
I Semestre

Corso di letture


AVVISI

  • Nella settimana dal 3 al 7 Novembre ci sarÓ un'interruzione della didattica per questo corso. Le lezioni riprenderanno Giovedý 13 Novembre nel solito orario.
  • La lezione di Giovedý 30 Ottobre Ŕ spostata a Venerdý 31 Ottobre dalle 9,30 alle 11.
  • Da Giovedý 16 Ottobre le lezioni si terranno in Aula 100.
  • Il primo incontro si terrà Giovedì 25, ore 11-13 in Aula 311


Crediti: 6

Docenti:
Stefania GabelliFrancesca Tartarone

Orario di ricevimento nel primo semestre    
   
    S. Gabelli:
    F. Tartarone: Lunedý 14-15, Mercoledý 10-11.
       



Informazioni Generali

Questo è un corso avanzato, diretto agli studenti del corso di laurea magistrale di indirizzo algebrico. Si consiglia di seguire questo corso dopo aver superato con profitto il corso di AL3.

Programma di massima:
  Anelli di valutazione. Valutazioni e gruppi di divisibilità. Estensioni di valutazioni ed indici di ramificazione. Valutazioni discrete e teoremi di approssimazione per valutazioni indipendenti. Domini di Pruefer. Teoria moltiplicativa degli ideali nei domini di Pruefer e proprietà aritmetiche. Domini di Dedekind e di Krull.
 


Diario delle lezioni

I Settimana - Anelli locali: definizione e caratterizzazione attraverso l'insieme degli elementi invertibili. Anello delle frazioni S^{-1}D di un dominio D. Localizzazione di un anello. Corrispondenza fra gli ideali primi di D e gli ideali primi di S^{-1}D. (Prof. F. Tartarone)

II Settimana - Dipendenza integrale. Caratterizzazione degli elementi interi su un dominio D. La chiusura integrale di un dominio e le sue proprietÓ di anello. Teoremi di IncomparabilitÓ, Going Up, Going Down in una estensione intera di anelli. Dimensione della chiusura integrale di un dominio D. Esempi. (Prof. F. Tartarone)

III Settimana - Valutazioni su un campo K. Definizione e primi esempi. Anelli associati ad una valutazione v. Anelli di valutazione e corrispondenza fra anelli di valutazione con campo dei quozienti K e valutazioni su K. Sopranelli di anelli di valutazione. Ideali e spettro primo di un anello di valutazione. Gruppo dei valori associato ad un anello di valutazione. (Prof. F. Tartarone)

IV Settimana - Valutazioni discrete. Anelli di valutazione discreta e NoetherianitÓ degli anelli di valutazione. PID locali. (Prof. F. Tartarone)

V Settimana - Domini di Dedekind: definizione e caratterizzazioni varie. Ideali invertibili: caso particolare degli anelli semilocali. Piattezza degli ideali in un dominio. Carattere di finitezza in undominio di Dedekind. Domini quasi Dedekind. (Prof. F. Tartarone)

VI Settimana - Domini di Pruefer. Definizione e prime caratterizzazioni. Gruppo delle classi. Domini di Bezout. Domini di Pruefer semilocali. Sopranelli di domini di Pruefer. Teorema Cinese dei Resti. (Prof. F. Tartarone)

VII Settimana - I Domini di Krull come intersezione di domini di valutazione discrete. Valutazioni essenziali di un dominio di Krull. I domini noetheriani e integralmente chiusi sono di Krull. Gli UFD sono domini di Krull non necessariamente noetheriani. (Prof. S. Gabelli)

VIII Settimana - Ideali divisoriali e t-ideali: caratterizzazioni. Star operazioni: definizione e prime proprietÓ. Ideali v-finiti e t-finiti. Ideali t-massimali. Un primo minimale su un principale Ŕ un t-ideale. (Prof. S. Gabelli)

IX Settimana -  Elementi quasi interi e completa chiusura integrale. Un dominio A Ŕ completamente integralmente chiuso se e soltanto se ogni ideale non nullo I Ŕ v-invertibile se e soltanto se A=(I:I) per ogni I. I domini di Krull sono completamente integralmente chiusi. (Prof. S. Gabelli)

X Settimana - La condizione della catena ascendente sugli ideali divisoriali. Condizioni equivalenti e prime conseguenze. Un dominio Ŕ di Krull se e soltanto se Ŕ completamente integralmente chiuso e soddisfa la condizione della catena ascendente sugli ideali divisoriali. Un ideale di un dominio di Krull Ŕ divisoriale se e soltanto se Ŕ intersezione di potenze simboliche di primi di altezza uno. (Prof. S. Gabelli)

XI Settimana - Un dominio Ŕ di Krull se e soltanto se gli ideali divisoriali formano un gruppo libero generato dai primi di altezza uno. Il gruppo delle classi dei divisori. Ideali divisoriali e massimo comune divisore. Cenni sui domini PvMD e il gruppo delle classi dei t-ideali. I domini a fattorizzazione unica sono i domini di Krull con gruppo delle classi banale. (Prof. S. Gabelli)

XII Settimana - Estensioni di domini di Krull. Relazioni tra i gruppi delle classi dei divisori. La condizione PDE. Il Teorema di Nagata. Uso del Teorema di Nagata per il calcolo del gruppo delle classi.. (Prof. S. Gabelli)

 


Seminari degli studenti

 



Programma definitivo


Bibliografia essenziale

Ulteriori riferimenti bibliografici