Dipartimento di Matematica

I Settimana - Anelli locali: definizione e caratterizzazione attraverso l'insieme degli elementi invertibili. Anello delle frazioni S^{-1}D di un dominio D. Localizzazione di un anello. Corrispondenza fra gli ideali primi di D e gli ideali primi di S^{-1}D. (Prof. F. Tartarone)

II Settimana - Dipendenza integrale. Caratterizzazione degli elementi interi su un dominio D. La chiusura integrale di un dominio e le sue proprietà di anello. Teoremi di Incomparabilità, Going Up, Going Down in una estensione intera di anelli. Dimensione della chiusura integrale di un dominio D. Esempi. (Prof. F. Tartarone)

III Settimana - Valutazioni su un campo K. Definizione e primi esempi. Anelli associati ad una valutazione v. Anelli di valutazione e corrispondenza fra anelli di valutazione con campo dei quozienti K e valutazioni su K. Sopranelli di anelli di valutazione. Ideali e spettro primo di un anello di valutazione. Gruppo dei valori associato ad un anello di valutazione. (Prof. F. Tartarone)

IV Settimana - Valutazioni discrete. Anelli di valutazione discreta e Noetherianità degli anelli di valutazione. PID locali. (Prof. F. Tartarone)

V Settimana - Domini di Dedekind: definizione e caratterizzazioni varie. Ideali invertibili: caso particolare degli anelli semilocali. Piattezza degli ideali in un dominio. Carattere di finitezza in undominio di Dedekind. Domini quasi Dedekind. (Prof. F. Tartarone)

VI Settimana - Domini di Pruefer. Definizione e prime caratterizzazioni. Gruppo delle classi. Domini di Bezout. Domini di Pruefer semilocali. Sopranelli di domini di Pruefer. Teorema Cinese dei Resti. (Prof. F. Tartarone)

VII Settimana - I Domini di Krull come intersezione di domini di valutazione discrete. Valutazioni essenziali di un dominio di Krull. I domini noetheriani e integralmente chiusi sono di Krull. Gli UFD sono domini di Krull non necessariamente noetheriani. (Prof. S. Gabelli)

VIII Settimana - Ideali divisoriali e t-ideali: caratterizzazioni. Star operazioni: definizione e prime proprietà. Ideali v-finiti e t-finiti. Ideali t-massimali. Un primo minimale su un principale è un t-ideale. (Prof. S. Gabelli)

IX Settimana -  Elementi quasi interi e completa chiusura integrale. Un dominio A è completamente integralmente chiuso se e soltanto se ogni ideale non nullo I è v-invertibile se e soltanto se A=(I:I) per ogni I. I domini di Krull sono completamente integralmente chiusi. (Prof. S. Gabelli)

X Settimana - La condizione della catena ascendente sugli ideali divisoriali. Condizioni equivalenti e prime conseguenze. Un dominio è di Krull se e soltanto se è completamente integralmente chiuso e soddisfa la condizione della catena ascendente sugli ideali divisoriali. Un ideale di un dominio di Krull è divisoriale se e soltanto se è intersezione di potenze simboliche di primi di altezza uno. (Prof. S. Gabelli)

XI Settimana - Un dominio è di Krull se e soltanto se gli ideali divisoriali formano un gruppo libero generato dai primi di altezza uno. Il gruppo delle classi dei divisori. Ideali divisoriali e massimo comune divisore. Cenni sui domini PvMD e il gruppo delle classi dei t-ideali. I domini a fattorizzazione unica sono i domini di Krull con gruppo delle classi banale. (Prof. S. Gabelli)

XII Settimana - Estensioni di domini di Krull. Relazioni tra i gruppi delle classi dei divisori. La condizione PDE. Il Teorema di Nagata. Uso del Teorema di Nagata per il calcolo del gruppo delle classi.. (Prof. S. Gabelli)