Diario delle Lezioni

• 18/12  Seminari.

• 16/12  Seminario. Lezione: Teorema di Hall. Ogni gruppo risolubile ha una base di Sylow.

• 11/12 Sottogruppi normali minimali di un gruppo risolubile e relazioni con il sottogruppo di Fitting. Serie di Fitting di un gruppo risolubile.

• 9/12 Seminari.

• 4/12 Derivato di un gruppo. Serie derivata. Serie centrali di gruppi. Gruppi risolubili: definizione e primi esempi. Un p-gruppo finito è risolubile.

• 2/12 Come risalire da una presentazione finita di un gruppo abeliano alla sua struttura di somma diretta di gruppi ciclici. Gruppi proiettivi. Un gruppo libero è proiettivo. Gruppi iniettivi e divisibili (teorema di equivalenza).

• 27/11 Ancora sulla struttura dei gruppi abeliani finitamente generati.

• 25/11 Sottogruppo di Frattini di un gruppo G e sottogruppi massimali. Sottogruppo di torsione di un gruppo abeliano. Struttura dei gruppi abeliani finitamente generati.

• 20/11 Generatori e relazioni. Sistemi di generatori e gruppi finitamente generati. 

• 18/11 Classificazione dei gruppi di ordine 12. Azioni: Formula di Burnside.  Caratteri: definizione, prime proprietà ed esempi (colorazione di un quadrato).

• 13/11 Seminari.

• 11/11 Azioni: stabilizzatore, orbita, azioni transitive. Azione di un gruppo G sui laterali di un sottogruppo H. Applicazioni ai p-gruppi. A_5 è l'unico gruppo semplice di ordine 60 ed è anche l'unico gruppo di ordine 60 con 6 5-Sylow.

• 30/10 Relazioni fra i Sylow di un gruppo G e quelli di un suo sottogruppo. Esempi e applicazioni.

• 28/10 Terzo Teorema di Sylow. Esempi e applicazioni.

• 23/10 Teorema di Cayley. Primo e secondo Teorema di Sylow.

• 21/10 Gruppi di permutazioni: semplicità del gruppo alterno A_n per n \neq 4. Automorfismi di S_n.

• 16/10 Gruppi semplici. Serie normali e serie di composizione di un gruppo. Teorema di Jordan-Holder sull'unicità di una serie di composizione. Esempi.

• 14/10 Il coniugio in S_n. Descrizione delle classi di coniugio attraverso la struttura ciclica e calcolo della loro cardinalità. Normalizzanti, classi di coniugio e centralizzanti di un sottogruppo H di un qualsiasi gruppo G. Esempi. Centralizzante e normalizzante del sottogruppo generato da un n-ciclo in S_n.

• 9/10  La relazione di coniugio in un gruppo. Il gruppo degli automorfismi interni. Il centro di un gruppo G, il centralizzante di un elemento g in G. Relazione fra l'indice del centralizzante di g e la cardinalità della classe di coniugio di g. Il cento di un p-gruppo. Gruppi di cardinalità p^2. Invertire il Teorema di Lagrange per i p-gruppi. Il coniugio per le involuzioni.

• 2/10 Sottogruppi normali: prime proprietà ed esempi. Quoziente di un gruppo rispetto ad un suo sottogruppo normale: definizione di struttura di gruppo. Permutabilità degli elementi di un prodotto di sottogruppi HK. Ciclicità dei gruppi finiti che possiedono un solo sottogruppo per ogni divisore dell'ordine. Teoremi di isomorfismo.

• 30/09 Prime proprietà sui p-gruppi. Esempi. Numero massimo di generatori di un gruppo finito. Numero massimo di gruppi non isomorfi di cardinalità n fissata. Gruppo dei quaternioni. Gruppi di ordine 6. Automorfismi di gruppi: esempi.

• 25/09 Gruppi ciclici. Sottogruppi e classi laterali. Indice di un sottogruppo. Cardinalità dei sottogruppi (Teorema di Lagrange, Teorema di Cauchy). 

• 23/09 Richiami sui gruppi: definizioni, esempi