TN1 - Introduzione alla teoria dei numeri

A.A. 2002/2003 - II Semestre - Crediti 7,5.

Docente: FRANCESCA TARTARONE - Ricevimento: martedì 11-13, 
Ufficio: 309, Tel: 06 54888228, E-mail: tfrance(at)mat.uniroma3.it.

Lezioni: Martedì 11-13, Giovedì 9-11 (Aula 100).

Assistente al corso: GIAMPAOLO PICOZZA - Ricevimento: giovedì 13.30-15, Ufficio: 201, Tel: 06 54888230,  E-mail: picozza(at)mat.uniroma3.it.

Lavoro guidato: Lunedì 9-11 (Aula 100) a settimane alterne.

Tutorato: ANDREA COVA, Mercoledì 16-17.30 (Aula 009) tutte le settimane.

 

Testi consigliati:

  • K. Ireland Rosen - M. Rosen,  A classical introduction to modern number theory, Graduate Texts in Mathematics, 84. Springer-Verlag, New York, 1990. 
  • G.H. Hardy - E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979.

Sommario

Descrizione breve del corso

Congruenze e polinomi. Equazioni diofantee lineari in due (o più) indeterminate. Risoluzione di sistemi di congruenze lineari. Congruenze polinomiali. Congruenze polinomiali mod p: teorema di Lagrange. Approssimazione p-adica. Esistenza di radici primitive mod p. Indice relativamente ad una radice primitiva. Congruenze quadratiche. Residui quadratici. Simbolo di Legendre. Lemma di Gauss e Legge di Reciprocità Quadratica. Simbolo di Jacobi. Interi somma di due quadrati. Lemma di Thue. Interi rappresentabili come somma di due, tre, quattro quadrati. Funzioni moltiplicative. Le funzioni j, s, t, m. La formula di inversione di Möbius. Studio di alcune equazioni diofantee. 

Diario delle lezioni

  • 24/2 Richiami di teoria della divisibilita` in Z. Introduzione alla teoria delle congruenze, prime proprieta`, costruzione di Z/nZ. Sistemi completi di residui.
  • 25/2 Congruenze lineari in 1 indeterminata. Equazioni diofantee in 2 e 3 indeterminate. Sistemi ridotti di residui.
  • 27/2 Congruenze lineari in 2 indeterminate. Sistemi di congruenze in 2 indeterminate.
  • 4/3 Piccolo Teorema di fermat, Teorema di Eulero fermat. Applicazioni.
  • 6/3 Teorema Cinese dei resti in Z.
  • 11/3 Teorema Cinese dei Resti per gli anelli commutativi unitari.
  • 13/3 Risoluzione delle congruenze polinomiali in una indeterminata modulo la potenza di un numero primo.
  • 18/3 Risoluzione di una congruenza polinomiale in una indeterminata modulo un numero primo. Teorema di Lagrange.
  • 20/3 Risoluzione di una congruenza polinomiale in r indeterminate modulo un numero primo.
  • 25/3 Ordine di un elemento modulo n. Radici primitive di un intero n. Prime proprietą e teoremi. 
  • 27/3 Risoluzione delle congruenze del tipo Xm = a (mod p).
  • 1/4 Definizione di indice di un elemento e prime proprieta'. Risoluzione delle congruenze del tipo Xm = a (mod n) con il metodo degli indici.
  • 3/4 Risoluzione di congruenze del tipo bX = a (mod p) e bX = X (mod n). esercizi di riepilogo.  
  • 8/4 Congruenze quadratiche. Definizione di simbolo di Legendre, prime proprieta'.
  • 10/4 Legge di reciprocita' quadratica.
  • 29/4 Risoluzione delle congruenze X2 = a (mod n), prima parte.
  • 6/5 Risoluzione delle congruenze X2 = a (mod n), seconda parte. Equazioni diofantee quadratiche.
  • 8/5 LRQ generalizzata. Teorema di Chowla. Equazioni diofantee del tipo Xn = a. Definizioni di funzione aritmetica e moltiplicativa.
  • 13/5 Teoria delle funzioni aritmetiche e moltiplicative, funzione di Mobius, prodotto di Dirichelet e calcolo dell'inversa di una funzione aritmetica, gruppo delle funzioni aritmetiche
  • 15/5 Gruppo delle funzioni moltiplicative, calcolo dell'inversa di una funzione totalmente moltiplicativa, formula di inversione di Mobius. 
  • 20/5 Terne pitagoriche. Risoluzione dell'equazioni diofantee X4 + Y4 = Z4  e               X4 + Y4 = Z2.
  • 22/5 Rappresentazioni di interi come somme di due quadrati.
  • 27/5 Rappresentazioni di interi come somma di pił quadrati.
  • 28/5 Esercitazione in classe.

Materiale disponibile

  • Lezioni ed esercitazioni
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    formato
    I settimana pdf
    I settimana pdf
    II settimana pdf
    III, IV settimana pdf
    V, VI settimana pdf
    VII,X settimana pdf
    IX settimana pdf
    X settimana pdf1, pdf2
    XI , XII settimana pdf1, pdf2, pdf3
 
  • Lavoro guidato e compiti per casa: Giampaolo PICOZZA
  • Testi
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    formato
    I pdf
    II pdf
    III pdf
    IV pdf

 
 
  • Prove di esonero
  • Testi e Soluzioni
    •  
    formato
    I pdf
    II pdf
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    • Valutazione
      • formato
      doc pdf

     
     
    • Tutorato "Senior" : Andrea COVA
    • Prove d'Esame
    • Testi e Soluzioni
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      formato
      Appello A .dvi .ps .pdf
      Appello B .dvi .ps .pdf
      Appello X .dvi .ps .pdf
      Appello C .dvi .ps .pdf
      Appello vecchio ordinamento .dvi .ps .pdf

       
    • Votazioni dell'appello d'esame piu' recente
      • formato
      .xls .html
     
     
    Gli studenti che hanno sostenuto con esito positivo, nel corso del semestre, le prove di valutazione parziale (``esoneri'') accedono direttamente ad un breve colloquio di verifica  del voto proposto dal docente, da effettuarsi durante la I Sessione di esame (Appello A o B).  Gli studenti che vorranno incrementare ulteriormente il voto proposto dal docente dovranno affrontare una prova orale.

    Per tutti gli studenti che non si avvalgono della possibilitą della valutazione del profitto durante il corso, l'esame finale consiste in una prova scritta ed una prova orale.

    Si noti che, in presenza di una valutazione positiva delle prove parziali durante il corso, l'eventuale consegna da parte dello studente di una successiva prova scritta di esame comporta la rinuncia implicita al ``voto di esonero''. Pertanto, in tal caso, la valutazione del profitto del corso verrą effettuata in base alla prova d'esame.
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