Lezione 1 (6 marzo).
Introduzione ai processi stocastici. Distribuzioni
finito-dimensionali. Incrementi stazionari e indipendenti. Esempio
del processo di Poisson. Vettori Gaussiani.
Lezione 2 (8 marzo). Continuita' delle traiettroie.
Costruzione del moto Browniano standard (MBS), prima parte.
Lezione 3 (13 marzo). Costruzione del MBS, seconda parte.
Prime proprieta' del MBS: Invarianza di scala, inversione
temporale, legge dei grandi numeri. Ponte Browniano. Processo di Ornstein-Uhlenbeck.
Lezione 4 (20 marzo). Proprieta' di continuita' del
MBS. Comportamento per tempi lunghi e per tempi brevi.
Lezione 5 (22 marzo). Non-differenziabilita' delle traiettorie. Il MB non ha
variazione limitata. Variazione quadratica.
Lezione 6 (25 marzo). Proprieta' di Markov per il MB. Tempi di
arresto.
Lezione 7 (3 aprile). Proprieta' di Markov forte per il
MB. Principio di riflessione. Massimo e distribuzione dell'hitting time di un livello.
Lezione 8 (5 aprile). Martingale
associate al browniano. Applicazioni del teorema di optional
stopping. Moto browniano in piu'
dimensioni.
Altre martingale associate al
browniano. Esercizi.
Lezione 9 (8 aprile). Funzioni armoniche e problema di Dirichlet.
Lezione 10 (10 aprile).
Esempi di soluzione del problema di Dirichlet. Il moto browniano non visita punti in dimensione d>=2.
Ricorrenza in d<=2 e transienza in d>=3.
Regolarita' di un punto al bordo. Criterio del cono troncato.
Lezione 11 (17 aprile).
Soluzione del problema di Dirichlet
tramite moto browniano per domini regolari. Esempi e esercizi. Problema di Poisson.
Lezione 12 (24 aprile).
Soluzione del problema di Poisson per domini regolari. Legge del
logaitmo iterato per il moto browniano standard.
Lezione 13 (29 aprile).
Skorohod embedding, principio di invarianza di Donsker.
Lezione 14 (3 maggio).
Applicazioni del principio di invarianza di Donsker: leggi arcoseno e legge del massimo
di passeggiate aleatorie. Introduzione all'integrale stocastico. Integrale di
Paley-Wiener-Zygmund.
Lezione 15 (6 maggio).
Definizione dell'integrale di Ito per processi progressivamente misurabili.
Lezione 16 (8 maggio).
Integrale di Ito. Proprieta' di martingala, continuita'. Esempi.
Lezione 17 (13 maggio).
Una prima formula di Ito. Esempi e esercizi.
Una seconda formula di Ito e applicazioni. Polinomi di Hermite e
martingale.