Complementi di Metodi matematici della Fisica (Laurea Magistrale in Fisica)

AA 2012-2013 - I Semestre ( L. Chierchia )

Esercitazioni: Elena Pulvirenti, Christian Scimiterna

Indice
Avvisi
Orari
Diario delle lezioni
Diario delle esercitazioni
Bibliografia
Programma
Esoneri ed esami

AVVISI

• [8/2/13] L'orale del primo appello è spostato al 20/2/13 (Ore 9:15, Studio 210, Matematica).

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• [7/1/13] Le lezioni di gennaio del mercoledì e venerdì cominceranno alle 15 anziché alle 15:30 (vedi Orario di gennaio)
• [17/12/12] La lezione di mercoledì 19/12 è spostata per concomitanza con un esonero; la lezione di venerdì 21/12 dovrà essere spostata per concomitanza con una riunione del nuovo dipartimento di Matematica e Fisica. Domani martedì 18 dicembre cercheremo di trovare un orario in settimana per recuperare almeno due ore.
• [2/12/12] ATTENZIONE: la lezione di martedì 4/12/12 è cancellata; le lezioni riprenderanno regolarmente mercoledì 5/12/12.
• [2/12/12] Il primo esonero si terrà martedì 11/12/12 dalle 14:15 alle 16:15 in aula G.

• Orario.pdf (aggiornato al 7/11/12)
  Orario di gennaio (7/1/13)

• Orario di ricevimento:
  Lunedì e mercoledì 17:00-18:00 - Studio 210, Dipartimento di Matematica

Diario delle lezioni
• Lezioni 1 e 2 [24/10/12] Introduzione alle equazioni alle derivate parziali ([E], cap 1). Metodo della separazione dele variabili (cenni): serie di Fourier. L'equazione del trasporto ([E], Sez 2.1).
  Problemi assegnati: P1: [W] Es 1, 3, 8 p. 98 e 99. P2: [W] Es 1 p. 103. P3: [W] Es 3, 4 p. 115. P4: [DB] Es 4.7, p. 213.

• Lezioni 3 e 4 [6/11/12] Enunciato del teorema della divergenza in R^n. Superifici di classe C^k. Vettori tangenti ad una superficie in R^n; normale; normale esterna; misura di superficie.
  Problema assegnato: P5

• Lezioni 5 e 6 [7/11/12] Calcolo in R^n: integrazione per parti; identità di Green; coordinate polari (integrazione). Calcolo del Laplaciano in coordinate radiali. Funzioni armoniche a simmetria sferica.
  Problema assegnato: P6

• Lezioni 7 e 8 [9/11/12] Soluzione fondamendale dell'equazione di Laplace. La convoluzione con la soluzione fondamentale risolve l'equazione di Poisson.
  Problemi assegnati: P7: [W] Es 1, 2, 3 p. 148. P8: [W] Es 1, 2, 4 pag. 151. P9: [DB] Es 1.7, pag. 74, nel caso N=2.

• Lezioni 9 e 10 [12/11/12] Proprietà del valor medio (su sfere e bordi sferici). Caratterizzazione delle funzioni armoniche in termini di proprietà del valor medio. Enunciato del principio del massimo (e massimo forte). Topologia e connessione.
  Problema assegnato: P10
  P10 (continuazione)

• Lezioni 11 e 12 [20/11/12] Dimostrazione del principio del massimo. Convoluzioni e nucleo regolarizzante standard. Le funzioni armoniche sono C^∞. Stima sulla derivata in termine del massimo della funzione di funzioni armoniche. Teorema di Liouville. Disuguaglianza di Harnack.
  Problemi assegnati: P11: [J] Es 1, 2, 3, 4 p. 105, 106.

• Lezioni 13 e 14 [27/11/12] Definizione di funzione di Green. Formula di rappresentazione per soluzioni del problema di Poisson-Dirichlet. Formulazione variazionale del problema di Dirichlet (principio di Dirichlet).
  Problemi assegnati: P12 ; P13

• Lezioni 15 e 16 [5/12/12] Soluzione fondamentale dell'equazione del calore. Soluzione del problema di Cauchy su Rⁿ. Il problema inomogeneo (principio di Duhamel).

• Lezione 17 [14/12/12] Dimostrazione elementare del principio del massimo debole per funzioni C² subarmoniche [J, p. 103].

• Lezione 18 e 19 [18/12/12] Principio del massimo debole per soluzioni dell'equazione del calore su domini parabolici limitati. Principio del massimo debole per soluzioni dell'equazione del calore su Rⁿ x (0,∞). Regolarità delle soluzioni dell'equazione del calore.

• Lezione 20 e 21 [8/1/13] Soluzione per serie di Fourier del problema della corda vibrante (con estremi fissi). Riduzione del problema di Cauchy per l'equazione delle onde al caso con profilo iniziale nullo. Formula di D'Alembert. Unicità per il problema misto in Rⁿ col metodo dell'energia.
  Problema assegnato: P14

• Lezione 22 e 23 [9/1/13] Propagazione finita del segnale per soluzioni dell'equazione delle onde in dimensione arbitraria (con il metodo dell'energia). Trasformata di Fourier in Rⁿ: proprietà fondamentali. La classe di Schwartz. Soluzione generale del problema di Cauchy per l'equazione delle onde in dimensione arbitraria con il metodo della trasformata di Fourier (dati iniziali in classe Schwartz).
  Problema assegnato: P15 : [DB] 6.3c, p. 216, 217.

• Lezione 24, 25 e 26 [11/1/13] Soluzioni del problema di Cauchy per le onde in R³: espressione esplicita in termine di medie sferiche. Funzioni regolari a supporto compatto che valgono 1 su una sfera e zero al di fuori di una sfera più grande (costruzione esplicita). Verifica diretta dell'equazione delle onde (esercizio). Invarianza per rotazioni dell'integrazione su bordi sferici (esercizio). Il metodo della discesa: espressione esplicita in termine di medie sferiche per n=2.
  Problema assegnato: P16

• Lezione 27, 28 e 29 [23/1/13] Integrazione su m-superifici in Rⁿ date in forma parametrica; il caso m=1 e m=n-1, il caso m=2, n=3. Invarianza per rotazioni dell'integrale sul bordo di sfere. Discussione del problema P15.

• Lezione 30, 31 e 32 [25/1/13] Ricapitolazione e discussione di varie tecniche per la risoluzione dell'equazione delle onde.
  P17 : [W] Es 1 p. 154; Es 2 p. 155. P18 : [E] Es 16, 17 p. 88; Es 18, p. 89. P19 : [DB] 6.3c, p. 216, 217. Es 7.1, p. 217; Es 7.2 e 7.3 p. 218.

Diario delle esercitazioni (le parti in corsivo sono di teoria)
• Esercitazione 1 e 2 [23/10/12] Derivazione di: equazione di continuità, eq. del calore e Laplace, eq. delle onde in dimensione 1 e 3, eq. di Navier-Stokes.

• Esercitazione 3 e 4 [30/10/12] Svolgimento esercizi assegnati: P1 e P3 (Es 4).

• Esercitazione 5 e 6 [14/11/12] Discussione di problemi assegnati sul metodo della separazione di variabile per l'equazione di Laplace in più dimensioni: P7: [W] es 1, 2 pag. 148; derivazione del laplaciano in coordinate polari e cilindriche; P8: [W] es 1 pag. 151.

• Esercitazione 7 [30/11/12] Discussione dell'es 2 pag. 151 di [W] e dell'es 1.7 pag. 74 di [DB].

• Esercitazione 8 [30/11/12] Discussione di P5, (ii).

• Esercitazione 9 [7/12/12] Discussione dell'es P4 con dato iniziale Σ (1/2ⁿ) sen nπx.

• Esercitazioni 10 e 11 [11/12/12] Test sulle equazione di Laplace e sulla equazione del calore.

• Esercitazione 12 [7/12/12] Discussione dell'es P13 punti (i), (iii). Problema P8, Es 1.

• Esercitazione 13 [14/12/12] Stime sulle soluzioni dell'equazione del calore su Rⁿ con dato iniziale non negativo a supporto compatto.

• Esercitazione 14 e 15 [15/1/13] Definizione e Tipologie di equazioni integrali: non lineari, lineari, di Volterra, di Fredholm, di prima e seconda specie. Equazioni integrali di Volterra di seconda specie: riduzione di un'equazione differenziale lineare ad un'equazione integrale; riduzione di un'equazione integrale ad un'equazione differenziale lineare; nuclei degeneri. Esercizi.

• Esercitazione 16, 17 e 18 [16/1/13] Equazioni integrali di Volterra di seconda specie: principio delle contrazioni e sua applicazione alla risoluzione di un'equazione integrale; metodo delle approssimazioni successive; nuclei iterati e nulceo risolvente. Esercizi.

• Esercitazione 19 e 20 [18/1/13] Equazioni integrali di Volterra di seconda specie: uniforme convergenza della serie per il nucleo risolvente e relative proprietà  di analiticità e continuità. Equazioni integrali di Fredholm di seconda specie a nucleo degenere: caso di numero non caratteristico e primo teorema di Fredholm. Esercizi.

• Esercitazione 21 e 22 [22/1/13] Equazioni integrali di Fredholm di seconda specie a nucleo degenere: caso di numero caratteristico, secondo e terzo teorema di Fredholm; teorema dell'alternativa di Fredholm. Esercizi

Esoneri ed esami

I Esonero:11/12/12; 14:15-16:15, aula G.
Testo

I Appello e II Esonero : 15/2/13, 15:15-17:15, aula C (Fisica).
Orale 20/2/13, ore 9:15, Studio 210, Largo S.L. Murialdo 1, pal. C (Matematica).
Testo

II Appello : 1/3/13, 9:15-11:15, aula G (Fisica); orale a seguire.

Appello unico di giugno : 12/6/13, 10-12, aula B (Fisica); orale a seguire.

Appello unico di luglio : 11/7/13, 10-12, aula C (Fisica); orale a seguire.

Appello unico di settembre : 20/9/13, 16-18, aula G (Fisica); orale a seguire.

Bibliografia
[J] Fritz John, Partial Differential Equations. Springer (4th ed) 1982
[E] Lawrence Craig Evans, Partial differential equations. Graduate Studies in Mathematics Vol 19. AMS 1998
[DB] Emmanuele DiBenedetto, Partial Differential Equations. Second edition. Birkhäuser 2009
[W] Hans F. Weinberger, A first course in partial differential equations. Dover 1965

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi (at) mat.uniroma3.it