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Glossario


Analitica- una funzione $f:R\to R$ si dice analitica in [a,b] se é sviluppabile in una serie di Taylor convergente su [a,b].

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Coercitiva- una funzione $f:R^n\to R$ si dice coercitiva se

\begin{displaymath}\lim_{\Vert x\Vert\to\infty} f(x) = +\infty.
\end{displaymath}

In questo caso un corollario del teorema di Weierstrass assicura l'esistenza di minimi per f in insiemi chiusi (anche non limitati) a patto che f sia continua (o anche semicontinua inferiormente).

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Consistente- un metodo ad un passo per Equazioni Differenziali Ordinarie si dice consistente con ordine p se, definito $\bar u$tramite l'equazione

\begin{displaymath}\bar u=\bar y+h\Phi(h,\bar x,\bar y,\bar u),
\end{displaymath}

e y(x) come la soluzione di

\begin{displaymath}\cases{y'(x)=f(x,y(x))\cr y(\bar x)=\bar y\cr}
\end{displaymath}

si ha $\vert\bar u-y(h)\vert\le Ch^{p+1}$. Nel caso di metodi a piú passi, l'analoga proprietá si esprime come

\begin{displaymath}\left\vert y(h)-\sum_{j=0}^p a_jy(\bar x-jh)-h\sum_{j=-1}^pb^jf(\bar x-jh,y(\bar
x-jh))\right\vert\le Ch^{p+1}.
\end{displaymath}

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Convessa- una funzione $f:R^n\to R$ si dice convessa se per ogni coppia di punti $x,y\in R^n$ e per ogni $\theta\in (0,1)$ si ha

\begin{displaymath}f(\theta x+(1-\theta)y)\le \theta f(x)+(1-\theta)f(y)
\end{displaymath}

e strettamente convessa se la disuguaglianza precedente é stretta. Una funzione C2 é convessa se e solo se la sua matrice hessiana é sempre semidefinita positiva; se poi la hessiana é sempre definita positiva allora la funzione é strettamente convessa (in questo caso non vale il viceversa).

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Definita positiva (negativa)- una matrice simmetrica A si dice definita positiva (negativa) se

(Ax,x)>0    ((Ax,x)<0)

per ogni $x\in R^n$. Se la disuguaglianza precedente é soddisfatta eventualmente con il segno di uguaglianza la matrice si dice semidefinita positiva (negativa). Se nessuno di questi casi é soddisfatto, allora la matrice si dice indefinita. Se A é definita positiva (negativa), allora ha autovalori tutti reali positivi (negativi); se é semidefinita, allora ha anche autovalori nulli; se é indefinita puó avere autovalori (reali) positivi, negativi o nulli.

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Densa- una famiglia numerabile di funzioni $\{\phi_1,\ldots,\phi_k,\ldots\}$ si dice densa in uno spazio funzionale X se per ogni $f\in X$ ed ogni $\varepsilon>0$ esiste un intero N tale che si abbia

\begin{displaymath}\Vert\sum_{k=1}^N c_k\phi_k - f\Vert _X <\varepsilon.
\end{displaymath}

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Dominante diagonale- una matrice A si dice dominante diagonale per righe (per colonne) se

\begin{displaymath}\vert a_{ii}\vert\ge \sum_j \vert a_{ij}\vert~~~~(\vert a_{ii}\vert\ge \sum_k \vert a_{ki}\vert).
\end{displaymath}

Se la disuguaglianza é soddisfatta con il segno stretto, la matrice si dice strettamente dominante diagonale (rispettivamente per righe o per colonne).

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Integrabile- una funzione $f:[a,b]\to R$ si dice Riemann-integrabile se, costruita una generica decomposizione $\{x_0,\ldots,x_N\}$ di [a,b], al variare di N e degli N+1 punti $x_0,\ldots,x_N\in[a,b]$, le sue somme integrali soddisfano la condizione

\begin{displaymath}\sup \sum_{k=1}^N m_k(x_k-x_{k-1}) = \inf \sum_{k=1}^N M_k(x_k-x_{k-1})
\end{displaymath}

dove

\begin{displaymath}m_k:=\inf_{(x_{k-1},x_k)} f(x)~,~~M_k:=\sup_{(x_{k-1},x_k)} f(x)
\end{displaymath}

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Norma- una norma $\Vert\cdot\Vert$ é una applicazione da uno spazio vettoriale X in R che soddisfa le seguenti proprietá:

\begin{displaymath}\Vert x\Vert\ge 0~,~~\Vert x\Vert=0 \hbox{ se e solo se } x=0;
\end{displaymath}


\begin{displaymath}\Vert cx\Vert=\vert c\vert~\Vert x\Vert~~(c\in R);
\end{displaymath}


\begin{displaymath}\Vert x+y\Vert\le \Vert x\Vert+\Vert y\Vert.
\end{displaymath}

Se X é lo spazio degli operatori lineari limitati su uno spazio vettoriale Y, allora si richiede di regola che la norma soddisfi anche le ulteriori proprietá

\begin{displaymath}\Vert AB\Vert\le \Vert A\Vert~\Vert B\Vert;
\end{displaymath}


\begin{displaymath}\Vert Ax\Vert _Y\le \Vert A\Vert~\Vert x\Vert _Y
\end{displaymath}

e si indica come norma naturale (associata ad una certa norma su Y) la seguente norma su X:

\begin{displaymath}\Vert A\Vert:=\sup_{x\not=0}{\Vert Ax\Vert _Y\over \Vert x\Vert _Y}.
\end{displaymath}

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Numero di condizionamento- data una matrice nonsingolare A ed una norma matriciale $\Vert\cdot\Vert$, si indica come numero di condizionamento di A il numero reale positivo

\begin{displaymath}K(A):=\Vert A\Vert~\Vert A^{-1}\Vert.
\end{displaymath}

Si ha che $K(A)\ge 1$. Se K(A) é molto grande la matrice A ed il sistema lineare associato si dicono malcondizionati. Nel caso di sistemi nonlineari tipicamente si indicano come malcondizionati sistemi in cui sia tale la matrice Jacobiana del sistema.

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Ortogonali- le funzioni di una famiglia $\{\phi_k\}$ si dicono mutuamente ortogonali rispetto ad un prodotto scalare $(\cdot,\cdot)$ se

\begin{displaymath}(\phi_k,\phi_j)\cases{>0 & se $k=j$\cr =0 & se $k\not=j$\cr}
\end{displaymath}

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Pieno - si indica come piena una matrice con un numero di elementi non nulli dello stesso ordine del numero totale di elementi della matrice, ovvero O(n2) al variare della dimensione n. Il corrispondente sistema lineare si indicherá come sistema pieno.

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Polinomi di Chebyshev- si indica con questo nome la famiglia di polinomi definiti in modo ricorsivo da

\begin{displaymath}\cases{
T_{k+1}(x)=2xT_k(x)-T_{k-1}(x) & $k\ge 1$ \cr
T_0=1\cr T_1=x.\cr}
\end{displaymath}

Tali polinomi sono mutuamente ortogonali in L2w([-1,1]) rispetto al peso w(x)=(1-x2)-1/2, piú precisamente

\begin{displaymath}\int_{-1}^1 (1-x^2)^{-1/2}T_j(x)T_k(x)dx = \cases{\pi & se $k=j=0$\cr \pi/2 & se
$k=j\not=0$\cr 0 & se $k\not=j$\cr}.
\end{displaymath}

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Polinomi di Legendre- si indica con questo nome la famiglia di polinomi definiti in modo ricorsivo da

\begin{displaymath}\cases{
P_{k+1}(x)={2k+1\over k+1}xP_k(x)-{k\over k+1}P_{k-1}(x) & $k\ge 1$ \cr
P_0=1\cr P_1=x.\cr}
\end{displaymath}

Tali polinomi sono mutuamente ortogonali in L2([-1,1]), e piú precisamente

\begin{displaymath}\int_{-1}^1 P_j(x)P_k(x)dx = \cases{{1\over k+1/2} & se $k=j$\cr 0 & se
$k\not=j$\cr}.
\end{displaymath}

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Prodotto scalare- si dice prodotto scalare su uno spazio vettoriale Xuna applicazione $(\cdot,\cdot):X\times X\to R$ tale che

(x,y)=(y,x)


\begin{displaymath}(x,x)\ge 0~,~~(x,x)=0 \hbox{ se e solo se } x=0;
\end{displaymath}


\begin{displaymath}(cx,y)=c(x,y)~~(c\in R);
\end{displaymath}


(x+y,z)=(x,z)+(y,z).

Si dice norma associata al prodotto scalare $(\cdot,\cdot)$ la norma definita da

\begin{displaymath}\Vert x\Vert:=\sqrt{(x,x)}
\end{displaymath}

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Sistema trigonometrico- si dice sistema trigonometrico relativo ad un intervallo [0,T] il sistema di funzioni

\begin{displaymath}\left\{1, \sin{2\pi x\over T}, \cos{2\pi x\over T},\ldots, \sin{2\pi kx\over
T},\cos{2\pi kx\over T},\ldots \right\}.
\end{displaymath}

Tale famiglia é densa nello spazio L2([0,T]).

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Sparso- si indica come sparsa una matrice con un numero di elementi non nulli piccolo rispetto al numero totale di elementi della matrice, ovvero o(n2) al variare della dimensione n. Il corrispondente sistema lineare si indicherá come sistema sparso. Un caso notevole é quello delle matrici a banda per cui si ha che il numero di elementi non nulli é O(n).

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Stabilitá- uno schema numerico per Equazioni Differenziali Ordinarie si dice stabile se perturbazioni piccole dei dati iniziali producono perturbazioni piccole della soluzione. Piú formalmente, fissati x>x0, $\varepsilon>0$ e due dati inziali y0 e $\bar y_0$ tali che $\vert y_0-\bar y_0\vert
<\varepsilon$, si ha per le corrispondenti soluzioni:

\begin{displaymath}\vert u_k-\bar u_k\vert<C
\end{displaymath}

per ogni $k\in 0,\ldots,(x-x_0)/h$, con C dipendente da x e $\varepsilon$ ma non da h. Nel caso lineare ció corrisponde alla equilimitatezza delle soluzioni discrete al variare di h su tutto l'intervallo [x0,x].

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Stabilitá assoluta- uno schema numerico per Equazioni Differenziali Ordinarie si dice assolutamente stabile se, applicato al problema modello

\begin{displaymath}\cases{y'(x)=-\lambda y(x)\cr y(0)=y_0\cr}
\end{displaymath}

con $\lambda>0$, produce una successione uk che soddisfa la condizione

\begin{displaymath}\lim_{k\to\infty} u_k = 0
\end{displaymath}

ovvero se conserva la proprietá qualitativa di stabilitá delle soluzioni del problema modello. Tale condizione include quella di stabilitá data precedentemente.

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Roberto Ferretti e Tiziana Manfroni - 1999