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Ultimo aggiornamento
December 27, 2009 |
AL3 - Fondamenti di algebra commutativa |
Docente: Marco Fontana
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Sommario
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Scheda del corso Moduli. Ideali. Anelli e moduli di frazioni. Anelli locali. Anelli e moduli noetheriani. Teorema della base (BasisSatz) di Hilbert. Dipendenza integrale. Anelli di valutazione. Teorema di Krull (chiusura integrale e valutazioni). Teorema degli zeri (NullstellenSatz) di Hilbert. Domini di Dedekind. Anelli e moduli artiniani. Spettro primo di un anello e topologia di Zariski. Ulteriori
argomenti potranno essere svolti in accordo con gli studenti
frequentanti.
Nota Bene. Per gli studenti della laurea magistrale e del dottorato di ricerca: si segnala che, a partire dal mese di Febbraio 2010, sono previste le visite presso il nostro Dipartimento dei Proff. Irena Swanson, Sarah Glaz ed Evan Houston che terranno dei minicorsi su argomenti più avanzati di algebra commutativa, collegati a tematiche di ricerca attuale. Il corso AL3 e' particolarmente indicato come prerequisito per seguire con profitto tali minicorsi.
Bibliografia essenziale
Ulteriori riferimenti bibliografici
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Avvisi - Bacheca elettronica del corso |
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Diario delle lezioni |
I Settimana. Introduzione al corso. Richiami sulla teoria degli anelli ed omomorfismi nel caso di anelli commutativi unitari. Ideali, ideali primi e massimali. Ideali finitamente generati, ideali principali. Divisori dello zero, idempotenti, nilpotenti, elementi inversibili. |
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Anelli locali: esempi e criteri. Parti moltiplicative e parti moltiplicative saturate. Ideali massimali nell'insieme degli ideali disgiunti da una parte moltiplicativa. Caratterizzazione delle parti moltiplicative saturate. Localizzazioni. Esempi. Divisori dello zero e parti moltiplicative. |
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III Settimana. Esempi di anelli locali. Un dominio e' un UFD se e soltanto se ogni ideale primo contiene un elemento primo. Nilradicale e radicale primo. Radicale di Jacobson. Esempi e prime proprieta'. Operazioni tra ideali ed esempi. Distributivita' delle operazioni tra ideali. Teorema Cinese dei Resti per anelli commutativi e caso classico nell'anello degli interi. Moduli su un anello. Esempi e prime proprieta'. Hom_A(M, N) e dualita'. |
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Moduli finitamente generati. Moduli liberi. Teorema fondamentale di omomorfismo tra moduli. Lemma di Nakayama: varie formulazioni. Prodotto tensoriale di moduli: proprieta' universale e sua costruzione. Prime proprieta' del prodotto tensoriale ed esempi. |
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V Settimana. Topologia di Zariski nello spazio affine su un campo. La topologia di Zariski sullo spettro primo di un anello: chiusi, aperti e base di aperti quasi-compatti. Applicazioni spettrali: continuita', immersioni aperte e chiuse. Chiusura di un sottospazio dello spettro primo. |
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VI Settimana. Punti chiusi e sottospazi irriducibili di Spec(A). Spec(A) e' uno spazio T_0 , ma non T_1. Quasi-compattezza. Composizione di applicazioni spettrali associate ad omomorfismi di anelli. Densita' dell'immagine nella applicazione spettrale associata ad un omomorfismo iniettivo. |
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Dipendenza integrale. Chiusura integrale. Caratterizzazioni degli elementi interi. Esempi e controesempi. L'anello degli elementi interi e sua chiusura integrale. Proprieta' delle estensioni intere: stabilita' per passaggio agli anelli-quoziente ed agli anelli di frazioni. Estensioni intere ed ideali massimali. Teorema del "Lying Over" e Teorema del "Going-Up" di Cohen-Seidenberg. |
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VIII Settimana. Anelli noetheriani. Proprieta' di stabilita' di anelli noetheriani (passaggio all'anello -quoziente e all'anello delle frazioni). Moduli noetheriani e moduli di tipo finito su anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Prime applicazioni. Per ogni dominio D si ha D = ∩ D_M, M ideale massimale di D. Un dominio e' integralmente chiuso se e soltanto se lo e' localmente. Anelli di valutazione. Prime proprieta' ed esempi. Sopraanelli di anelli di valutazione. Anelli di valutazione ed anelli integralmente chiusi. |
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Anelli di valutazione ed elementi massimali negli insiemi di domini locali. Lemma u, u^{-1}. Teorema di Krull: un dominio integralmente chiuso e' intersezione dei suoi sopraanelli di valutazione. Ideali irriducibili ed ideali primi. In un anello noetheriano ogni ideale proprio possiede una decomposizione finita in ideali irriducibili. |
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Ideali primari. Radicale di un ideale primario. Ideali M-primari, con M ideale primo. Esempi e controesempi. In un anello noetheriano un ideale irriducibile e' primario. esempi. In un anello noetheriano ogni ideale proprio possiede una decomposizione finita in ideali primari ed un ideale radicale (proprio) possiede una decomposizione finita in ideali primi. |
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XI Settimana. Domini di valutazione discreta e domini di Dedekind. Esempi. In un dominio di Dedekind ogni ideale proprio possiede una presentazione come prodotto di un numero finito di ideali potenze di ideali primi (=massimali). Esempi degli anelli di numeri quadratici. Ogni PID e' un Dominio di Dedekind. Anelli e domini di Hilbert: prime proprieta'. |
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Domini di Hilbert: principali proprieta' ed esempi. Teorema degli zeri di Hilbert (forma "debole" e forma "forte"). Conseguenze geometriche del Teorema degli zeri. Valutazioni discrete ed anelli associati. Un anello di valutazione discreta e' associato ad una valutazione discreta. Esempi. Un esempio di un anello di valutazione che non e' un anello di valutazione discreta.
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Appunti on-line di corsi di introduzione all’algebra commutativa ed altri links utili |
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I. Fesenko: Commutative algebra Preface Table of Contents Chapter 0 Ring Theory Background (7 pp.) Chapter 1 Primary Decomposition and Associated Primes (15 pp.) Chapter 2 Integral Extensions (9 pp.) Chapter 3 Valuation Rings (9 pp.) Chapter 4 Completion (10 pp.) Chapter 5 Dimension Theory (15 pp.) Chapter 6 Depth (4 pp.) Chapter 7 Homological Methods (8 pp.) Chapter 8 Regular Local Rings (3 pp.) Exercises (7 pp.) Solutions (8 pp.) List of Symbols Index Sudhir R. Ghorpade: Commutative Algebra Lecture Notes Contents 1 Rings and Modules 3 C. Procesi: Algebra Commutativa Appunti di Algebra commutativa (versione 23-5-2002) Contenuto: Teoria della dimensione; Grado di Trascendenza; Polinomi di Hilbert; Dimensione di Krull; Anelli regolari e singolari; Molteplicitµa. Successioni regolari ad anelli di Cohen-Macaulay; Completamenti. Metodi omologici; Introduzione agli schemi; Topologa di Zariski; Fasci di anelli e moduli; Il linguaggio dei funtori; Discesa fedelmente piatta. Morfismi étale, piatti e lisci; Differenziali algebrici; Algebre étale; Anelli Henseliani; Introduzione alle topologie di Grothendieck; La topologia étale. R. Strano: Appunti di Algebra Commutativa D. R. Wilkins (Trinity College, Dublin  ): Topics in
Commutative Algebra .pdf
M. Barile (Università di Bari): Appunti di Algebra Commutativa
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Valutazione in itinere - seminari - "esoneri" |
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La valutazione del profitto verrà effettuata di preferenza durante il semestre. Gli studenti frequentanti saranno invitati ad effettuare almeno un seminario di approfondimento su tematiche collegate a quelle svolte a lezione. Inoltre, sono previste una prova scritta a metà semestre ed una prova scritta a fine semestre. Gli studenti che hanno sostenuto con esito positivo, nel corso del semestre, le prove di valutazione parziale (seminari e prove scritte) accedono direttamente al colloquio di verbalizzazione del voto proposto dal docente, da effettuarsi durante la I Sessione di esame (Appello A o B ). Per tutti gli studenti che non si avvalgono della possibilità della valutazione del profitto durante il corso, l'esame finale consiste in una prova scritta (comprendente anche domande di tipo teorico) o/e orale.
I Prova in itinere (esonero); Venerdi' 6 Novembre 2009 ore 10, Aula C: Prenotazione telematica obbligatoria II Prova in itinere (esonero); Lunedi' 21 Dicembre 2009 ore 10, Aula 009. Prenotazione telematica obbligatoria sul web studenti
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Seminari |
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Appello B: 10 Febbraio 2010, ore 10
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Appello C: 9 Giugno 2010, ore 10
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Appello X: 3 Settembre 2010, ore 10
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