FM7 - Metodi probabilistici in fisica matematica (CdL Matematica)
AA 2009-2010 - I Semestre (Docente: Alessandro Giuliani)
- Diario delle lezioni
- Lezioni 1 e 2 [5/10/09]
Richiami di termodinamica: primo e secondo principio della termodinamica, funzioni termodinamiche, relazioni di Maxwell; diagramma di fase, coesistenza di fase, transizioni di fase del primo ordine e di ordine superiore. I principi della meccanica statistica: ipotesi ergodica, ensemble statistico microcanonico.- Lezioni 3 e 4 [12/10/09]
Richiami di termodinamica: stabilità termodinamica, proprietà di convessità delle funzioni termodinamiche, trasformazione di Legendre e funzioni termodinamiche coniugate. L'ensemble canonico. Nozione di ortodicità di un ensemble statistico. Ortodicità dell'ensemble canonico.- Lezioni 5 e 6 [19/10/09]
Ortodicità dell'ensemble microcanonico. Potenziali stabili e temperati. Soluzione esatta del gas libero (sia nel canonico che nel microcanonico) ed equazione di stato del gas perfetto.- Lezioni 7 e 8 [26/10/09]
Equivalenza tra gli ensemble microcanonico, canonico e grancanonico. Altri ensemble ortodici equivalenti. Enunciato del teorema sul limite termodinamico per entropia, energia libera e pressione.- Lezioni 9 e 10 [2/11/09]
Dimostrazione dell'esistenza del limite termodinamico per la pressione grancanonica. Dimostrazione dell'esistenza del limite termodinamico per l'entropia microcanonica (parte 1).- Lezioni 11 e 12 [9/11/09]
Dimostrazione dell'esistenza del limite termodinamico per l'entropia microcanonica (parte 2). Dimostrazione dell'equivalenza tra entropia microcanonica e energia libera canonica.- Lezioni 13 e 14 [16/11/09]
Definizione di misura di Gibbs grancanonica a volume infinito: distribuzioni locali, funzioni di correlazione e condizioni di compatibilità. Struttura generale dello spazio delle misure di Gibbs a parametri termodinamici fissati: stati estremali e stati puri; condizione di clustering per le funzioni di correlazione. Modelli di gas su reticolo e modelli di spin. Il modello di Ising in 1D: calcolo dell'energia libera magnetica con la matrice di trasferimento.- Lezioni 15 e 16 [23/11/09]
Il modello di Ising in 1D: calcolo delle correlazioni. Assenza di transizione di fase. Definizione del modello di Ising in campo medio.- Lezioni 17 e 18 [30/11/09]
Soluzione esatta del modello di Ising in campo medio: calcolo dell'energia libera e delle correlazioni. Esistenza di una transizione di fase. Fluttuazioni gaussiane della magnetizzazione fuori dal punto critico. Fluttuazioni anomale al punto di transizione del second'ordine. Esponenti critici di campo medio.- Lezioni 19 e 20 [9/12/09]
Il modello di Ising 2D: la soluzione di Onsager (senza dimostrazione). Discussione qualitativa del diagramma di fase: esistenza di una transizione di fase. Rappresentazione geometrica in contorni di alta e bassa temperatura. Dualità. Calcolo della temperatura critica. L'argomento di Peierls: instabilità rispetto alle condizioni al bordo a bassa temperatura.- Lezioni 21 e 22 [14/12/09]
Disuguaglianza di Griffiths. Esistenza della misura di Gibbs di volume infinito con condizioni al bordo +; proprietà di clustering delle correlazioni della fase +. Espansione di bassa temperatura per l'energia libera e le correlazioni. Cluster expansion.- Orario lezioni:
- - lunedì: 16:30 -18:30, Aula 211
- Modalità di esame:
Esonero scritto da risolversi a casa (Testo) e esame orale (primo appello: 25 Gennaio 2010, ore 9:30; secondo appello: 19 Febbraio 2010, ore 9:30). La prova orale consisterà in una discussione dell'esonero e nella presentazione di una tesina, su uno dei seguenti argomenti:- La soluzione esatta del modello di Ising 2D.
- Cluster expansion per il modello di Ising 2D.
- Esistenza di una transizione di fase in un modello di Ising 1D con interazioni a lunga portata.
- Il teorema di Lee e Yang: analiticità delle funzioni termodinamiche del modello di Ising in presenza di campo magnetico.
- Testi consigliati
Testo principale di riferimento:
G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise , Springer-Verlag 1999.
Disponibile on-line su http://ricerca.mat.uniroma3.it/ipparco/pagine/libri.html
Testi di riferimento addizionali:- D. Ruelle: STATISTICAL MECHANICS - Rigorous Results, World Scientific 1999.
- D. Ruelle: Thermodynamic formalism Cambridge University Press, 2004.
- L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Physique Statistique , MIR, Moscow, 1984.
- K. Huang: Statistical Mechanics , Wiley and Sons 1987.
- G. Gallavotti, F. Bonetto e G. Gentile: Aspects of the ergodic, qualitative and statistical theory of motion , Springer-Verlag 2004.
Disponibile on-line su http://ricerca.mat.uniroma3.it/ipparco/pagine/libri.html - D. Ruelle: STATISTICAL MECHANICS - Rigorous Results, World Scientific 1999.
Ultima modifica 20/01/2010
- - lunedì: 16:30 -18:30, Aula 211