1. Introduzione alle geometrie non-euclidee.

La sfera. La distanza sulla sfera, caratterizzazione delle "geodesiche", o "rette".

Osservazioni locali e globali sulla sfera:

-figure piane sulla sfera e loro proprietà .

-differenze, osservabili localmente, tra geometria della sfera ed euclidea: relazione tra raggio e circonferenza,

 angoli interni di figure regolari (controesempio di Saccheri).

-differenze globali: possibili mutue posizioni delle "rette".

Geometrie localmente euclidee su superfici bidimensionali: Il cilindro, il nastro di Mobius, il cilindro avvitato, il toro T2.

 Per ciascuna geometria:

-costruzione per identificazione dei bordi di una porzione di piano;

-costruzione come spazio quoziente di una relazione di equivalenza nel piano, e relativa "tassellazione" del piano;

-rappresentazione come superficie immersa nello spazio tridimensionale (l' oggetto).

-la nozione di "distanza", le geodesiche, o "rette", nelle tre rappresentazioni di ciascuna geometria.

-Mutua posizione delle "rette" nelle varie geometrie: rette parallele e intersezioni di rette nelle varie
geometrie.

- presentazione di almeno un modello fisico-matematico associato ad alcune delle geometrie studiate:

    cilindro: spazio delle fasi del pendolo, perla pesante

    toro: eclissi terra-luna-sole, modello spin-orbita pianeta-satellite, approssimazione delle scale musicali pitagoree e comma pitagorico
 

Compatibilità  delle osservazioni locali su ciascuna geometria con quelle sul piano euclideo:

le geometrie sono "localmente euclidee". Coordinate intrinseche ad una superficie.

Per il toro: densità  delle rette a pendenza irrazionale.

2. Algebra astratta e geometria nel piano.

Relazioni di equivalenza, classi di equivalenza, spazio quoziente.

Insiemi numerici, astrazione delle loro proprietà : i gruppi.

Gruppi di simmetrie, gruppi di simmetria del quadrato e del triangolo equilatero.

Isometrie: traslazioni , riflessioni e glissoriflessioni; disegni invarianti  per una trasformazione.

Dominio fondamentale di un gruppo di simmetrie.

I 7 gruppi di simmetria di una striscia (motivi "a festone", o "fregi"). Gruppi cristallografici nel piano.

Ricostruzione univoca dell'aspetto originale dei pavimenti dell'emiciclo dei Mercati di Traiano a a partire dai frammenti
in situ.
 

3. Simmetrie 3d: la sfera e i poliedri

Solidi platonici, formula di Eulero. Dualità. Poliedri stellati. Gruppi di simmetria dei poliedri. Sviluppo piano.

Icosaedro e rettangolo aureo. Cupole geodetiche: classificazione di alcune triangolazioni della sfera (dovuta a Coxeter) e studio delle diverse triangolazioni. Fullereni.

Conseguenze della formula di Eulero: i solidi platonici sono solo 5, i fullereni hanno esattamente 12 facce pentagonali.

Gruppi di simmetria speculare della sfera (Coxeter).

"Oltre lo sviluppo piano": approccio di problemi geometrici attraverso lo sviluppo piano di poliedri.

- Percorsi minimi sui poliedri, percorsi chiusi, distanza tra punti.

Bibliografia:

E.A. Abbott Flatland: a Romance of Many Dimensions, Princeton University Science Library 1991 (Dover 1953); trad. italiana: Flatlandia, Adelphi 1996

T. Banchoff Oltre la terza dimensione Zanichelli 1993

Courant, Robbins Che cos'è la matematica? Boringhieri

L.A. Lyusternik The Shortest Lines Little Mathematics Library MIR Publishers Moscow 1983

A. Kostovskii Geometrical Constructions with compasses only Little Maths Library MIR Publishers Moscow, 1982

R. Osserman Poesia dell' universo: l' esplorazione matematica del cosmo Longanesi 1995

B. Riemann Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria Boringhieri 1994
 

Potrete trovare spunti e stimoli ulteriori per i vostri lavori individuali in:
- Nexus Network Journal (una rivista di matematica e architettura)

- La serie "Matematica e Cultura"  a cura di Michele Emmer

- The Visual Mind