TE1 - Teoria delle equazioni

A.A. 2004/2005 - II Semestre - Crediti 7,5.

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Informazioni Generali

Docenti Daniele A. Gewurz Francesco Pappalardi
Ricevimento TBA Mercoledì e Giovedì 16-17
Ufficio209209
Telefono 06 54888243 06 54888243
E-mailgewurz at mat.uniroma1.it pappa at mat.uniroma3.it
TUTORE Fabio Pusateri
Lezioni:
Martedì11-13(Aula C)
Giovedì11-13(Aula F)
Venerdì11-13(Aula F - settimane alterne)
Venerdì14-16(Aula F - TUTORATO)
DESCRIZIONE DEL CORSO

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Avvisi:

  • Venerdì 25 Febbraio si terrà la lezione di TE1 alle 11:00 in Aula F.
  • Il Giovedì si inizia alle 11 puntuali per poter finire alle 12:30.
  • Il primo tutorato di TE1 è previsto per Venerdì 4 Marzo alle 14:00 in Aula F.
  • Data proposta per Il compito di metà semestre: martedì 12 Aprile alle ore 11.
  • La lezione di martedì 5 aprile è sospesa in occasione del lutto nazionale per la morte del Papa
  • L'esame di metà semestre è stato corretto. I voti sono in visione nella sezione Esoneri/Esami. I compiti possono essere consultati la settimana prossima durante l'orario di ricevimento.
  • E' possibile visionare la soluzione dell'esame di metà semestre
  • Ci sarà lezione venerdì prossimo 29 Aprile e NON ci sarà lezione venerdì 6 Aprile.
  • Il calendario degli esami è stato pubblicato.
  • L'esame finale si terrà il 27 Maggio alle 11:00 in Aula F
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    Diario delle Lezioni:

    1. Martedì 22 Febbraio:
      (a) Introduzione al corso, formula di Cardano Tartaglia per la risoluzione delle equazioni di terzo grado, cenni sugli obbiettivi della Teoria di Galois
      (b) Notazioni/Richiami: Anelli, Sottoanelli, Ideali, Omomorfismi, Campi, Sottocampi, (Un anello è in campo se e solo se non ha ideali non banali).
    2. Giovedì 24 Febbraio:
      (a) La nozione di caratteristica di un campo, sottocampi fondamentali, richiami sugli anelli di polinomi, divisione Euclidea tra polinomi e algoritmo Euclideo su polinomi, esempi.
      (b) Fattorizzazione dei polinomi, Lemma di Gauss (Senza dim), criterio di irriducibilità di Eisenstein, l'irriducibilità dei p-esimi polinomi ciclotomici.
    3. Venerdì 25 Febbraio:
      (a) Algoritmo per fattorizzare polinomi a coefficienti razionali, criteri di irriducibilità.
      (b) Estensioni di campi, estensioni finite e infinite, moltiplicatività del grado delle estensioni, costruzioni di estensioni di campi.
    4. Martedì 1 Marzo:
      (a) Estensioni formali di campi, campi a gambo, esempi, sottoanelli di campi generati da sottoinsiemi su sottocampi F[S], un sottoanello di un campo di dimensione finita su un sottocampo è un campo.
      (b) Sottocampo generato da un sottoinsieme su un sottocampo, composto di due sottocampi, elementi algebrici e trascendenti, esempi, estensioni algebriche, un estensione è finita se e solo se è algebrica e trascendente...
    5. Giovedì 3 Marzo:
      (a) ... Fine dimostrazione, ancora sulle estensioni algebriche, storia dei numeri trascendenti, i numeri algebrici sono numerabili.
      (b) Campi algebricamente chiusi, caratterizzazioni, chiusura algebrica, proprietà.
    6. Martedì 8 Marzo:
      (a) Ancora sui campi algebricamente chiusi, i numeri algebrici sono un campo algebricamente chiuso.
      ESERCIZI:
      • cos(2p/5)=(Ö5-1)/4
      • faa+b(X)=a(fa)fa((X-b)/a)
      • cos((2p/n) è algebrico

      (b) ESERCIZI:
      • [Q(zn):Q(cos(2p/n))]=2 se n > 2
      • calcoli vari su Q(a), a3=a+1
      • polinomio minimo di sin(2p/5).
    7. Giovedì 10 Marzo:
      (a) F-omomorfismi e F-isomorfismi, proprietà ed esempi.
      (b) campi di spezzamento, esistenza del campo di spezzamento, esempi.
    8. Venerdì 11 Marzo: ESERCITAZIONI
      (a) Polinomio minimo di cos(2p/7), campi di spezzamento: x3 su Q, xp-2 su Q,
      (b) x2+ax+b su F2 e x15+3x5+1 su F5.
    9. Martedì 15 Marzo:
      (a) ancora esempi sui campi ciclotomici, questioni sull'esistenza e estendibilità di F-omorfismi.
      (b) relazione tra numero di F-omomorfismi e grado, due campi di spezzamento dello stesso polinomio sono isomorfi.
    10. Giovedì 17 Marzo:
      (a) radici multiple, caratterizzazioni dei polinomi irriducibili con radici multiple.
      (b) Separabilità, campi perfetti, caratterizzazione dei campi perfetti, esempi.
    11. Martedì 22 Marzo:
      (a) il gruppo Aut(E) degli automorfismi di un campo E, il gruppo Aut(E/F) degli F-automorfismi di un estensione E/F, esempi, sottocampo fissato da un sottogruppo di automorfismi EG, Lemma di Artin con dimostrazione.
      (b) Estensioni normali ed estensioni separabili, esempi, definizione di estensione di Galois e gruppo di Galois.
    12. Giovedì 24 Marzo:
      (a) diverse caratterizzazioni della nozione di estensione di Galois, esempi e controesempi.
      (b) elementi coniugati, tutti i sottocampi del campo di spezzamento di x3-2.
    13. Giovedì 31 Marzo:
      (a) Il Teorema fondamentale della corrispndenza di Galois, prima parte della dimostrazione.
      (b) Esempi di applicazione del Teorema di Corrispondenza di Galois, Il reticolo dei sottocampi di Q( z7).
    14. Venerdì 1 Aprile: ESERCITAZIONI
      (a) dimostrare che se f è un polinomio irriducibile di Q[x] e il grado del suo campo di spezzamento è dispari, allora f ha solo zeri reali;
      (b) calcolare il gruppo di Galois di x4-2 (su Q) e descrivere la relativa corrispondenza di Galois;
      (c) dimostrare che se p è primo, cos(2p/p2) soddisfa un polinomio di grado p(p-1)/2 su Q con gruppo di Galois ciclico.
    15. Martedì 5 Aprile: LEZIONE ANNULLATA.
    16. Giovedì 7 Aprile:
      (a) Dimostrazione dell'ultima parte del Teorema di corrispondenza di Galois, esercizi.
      (b) esercizi: Soluzione del compito di TE1 del 24 Aprile 2003
    17. Martedì 19 Aprile:
      (a) Gruppi di Galois come gruppi di permutazioni, esempi di possibili gruppi di Galois di polinomi di grado 4.
      (b) Il problema inverso di Galois, polinomi con gruppi di Galois aventi 8 elementi, come determinare polinomi aventi gruppi di Galois ciclici Cm, enunciato del Teorema di Dirichlet per primi in progressione aritmetica.
    18. Giovedì 21 Aprile:
      (a) La nozione di estensione risolubile e di gruppo risolubile, risolubilità di S3 e di S4, la non risolubilità di Sn (n>4), Enuncito del Teorema di Galois della risolubilità delle equazioni per radicali.
      (b) La nozione di discriminante, prime proprità del discriminante, il discriminante per determinare il gruppo di Galois dei polinomi di grado tre.
    19. Venerdì 22 Aprile: ESERCITAZIONI
      (a) Il gruppo di Galois di Q(Ö(Ö2+2)(Ö3+3)) su Q è il gruppo dei quaternioni.
      (b) Correzione del compito: Esercizi 2, 3, 4 e 11.
    20. Martedì 26 Aprile:
      (a) Legame tra discriminante e derivate. Formula per il discriminante del polinomio Xn+aX+b. Dimostrazione delle proprietà del discriminante.
      (b) Sottogruppi di Sn. Sottogruppi transitivi. Un polinomio separabile è irriducibile se e solo se il guo gruppo di Galois è transitivo.
    21. Giovedì 28 Aprile:
      (a) Formula per il discriminante di un campo ciclotomico primo, Polinomi irriducibili di grado quattro.
      (b) Risolvente cubica e campo di spezzamento della risolvente cubica, Determinazione del gruppo di Galois di un polinomio di grado quattro (discussione incompleta).
    22. Venerdì 29 Aprile:
      (a) Definizioni di punti e lunghezze costruibili; esempi di costruzioni (punto medio; prodotti, inversi, radici);
      (b) Se un punto (x,y) è costruibile, allora [Q(x):Q] e [Q(y):Q] sono potenze di 2;
    23. Martedì 3 Maggio:
      (a) I tre problemi classici: duplicazione del cubo, trisezione dell'angolo, quadratura del cerchio (senza dim. della trascendenza di p); impossibilità di risolverli con riga e compasso, esempi di trisezione con riga graduata (Archimede) e con l'origami;
      (b) Costruzioni di poligoni regolari: l'n-gono è costruibile sse f(n) è una potenza di 2; primi di Fermat; costruzione del pentagono regolare; Le costruzioni con riga e compasso si possono fare col solo compasso.
    24. Giovedì 5 Maggio:
      (a) Un campo finito ha ordine pn (p primo); esistenza e unicità (a meno di isomorfismi) di Fpn); costruzione come campo di spezzamento di Xpn-X. Estensioni di campi finiti; Fpn è di Galois su Fp con Gal generato dall'automorfismo di Frobenius.
      (b) Descrizione e enumerazione dei polinomi irriducibili su Fp). Struttura moltiplicativa e additiva dei campi finiti. Esempi (qualche campo piccolo), esercizi (contare i polinomi irriducibili di grado 8 su F2, trovare un campo di spezzamento).
    25. Martedì 10 Maggio:
      (a) Gruppi di Galois di polinomi di grado 4
      (b) Classificazioni di gruppi transitivi di grado 5,...,31.
    26. Giovedì 12 Maggio:
      (a) Polinomi di grado p con esattamente due radici complesse hanno gruppo di Galois Sp. Esempi.
      (b) Enunciato del Teorema di Dedekind, Esempi e applicazioni.
    27. Venerdì 13 Maggio:
      (a) come costruire un polinomio di grado n con gruppo di Galois Sn.
      (b) Il Teorema dell'elemento primitivo. Inizio dimostrazione. Esempi.
    28. Martedì 17 Maggio:
      (a) Fine dimostrazione dell'elemento primitivo, Un estensione finita e semplice ammette un numero finito di campi intermedi, Esempio di un estensione finita non semplice.
      (b) Teorema di classificazione dei gruppi abeliani finiti, Il problema di Galois inverso per gruppi abeliani, come costriure un estensione con gruppo di Galois isomorfo a C53.
    29. Giovedì 19 Maggio:
      (a) Estensioni ciclotomiche n-esime di campi con caratteristica che non divide n. Gruppi di Galois di estensioni ciclotomiche.
      (b) L'n-esimo polinomio ciclotomico razionale è irriducibile. Proprietà e esempi. Esercizi: Inizio soluzione del compito finale proposto nel AA 2002/2003.
    30. Martedì 24 Maggio: ESERCITAZIONI
      (a) Soluzione degli esercizi dal compito del 22 Maggio 2003. Num. 4., 5., 6.,
      (b) Soluzione degli esercizi dal compito del 22 Maggio 2003. Num. 7., 8., 9., 10.
    31. Giovedì 26 Maggio: ESERCITAZIONI
      (a) Soluzione degli esercizi dal compito del 22 Maggio 2003. Num. 11, 12. Problemi di ricapitolazione sulle note di Milne pag. 86. A9, A11.
      (b) Problemi di ricapitolazione sulle note di Milne pag. 86. A14, A15, A17, A19.
    32. Venerdì 27 Maggio: ESAME DI FINE SEMESTRE
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    Tutorato/Esercizi:

    1. Venerdì 4 Marzo - Testo esercizi
    2. Venerdì 11 Marzo - Testo esercizi
    3. Venerdì 18 Marzo - Esercizi tratti dal testo dell'ultima settimana.
    4. Venerdì 1 Aprile - Testo esercizi
    5. Venerdì 8 Aprile - Esercizi tratti dal testo dell'ultima settimana.
    6. Venerdì 22 Aprile - Esercizi tratti dal testo del 1 Aprile.
    7. Venerdì 29 Aprile - Testo esercizi
    8. Venerdì 6 Maggio - Esercizi tratti dal testo dell'ultima settimana.
    9. Venerdì 13 Maggio - Testo esercizi
    10. Venerdì 20 Maggio - Esercizi tratti dal testo dell'ultima settimana.

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    Esoneri/Esami:

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    Testi consigliati:


  • J. S. Milne.Fields and Galois Theory. Course Notes 2003.
  • S. Gabelli.Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. Appunti per un corso elementare 2002.
  • M. Artin. Algebra. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ 1991.
  • D. Dummit and R. Foote. Abstract algebra. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ 1991.
  • T. W. Hungerford. Algebra Reprint of the 1974 original. Graduate Texts in Mathematics, 73. Springer-Verlag, New York-Berlin. 1980 .
  • N. Jacobson. Lectures in abstract algebra. III. Theory of fields and Galois theory. Second corrected printing. Graduate Texts in Mathematics, No. 32. Springer-Verlag, New York-Heidelberg 1975.
  • S. Lang. Algebra. Revised third edition. Graduate Texts in Mathematics, 211. Springer-Verlag, New York 2002.
  • J. Rotman. Galois theory. Universitext. Springer-Verlag, New York 1998.
  • I. Stewart. Galois theory. Second edition. Chapman and Hall, Ltd., London 1989.
  • J. Stillwell. Elements of algebra. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York. 1994