Lezione 1 (26 settembre).
Processo di ramificazione.
Lezione 2 (27 settembre). Sigma
algebra, spazio misurabile, spazio di probabilita'. Costruzione della
misura di Lebesgue.
Lezione 3 (3 ottobre). pi-sistemi. Lemma di Dynkin. Lemma di
unicita' della misura. Prime propreita' della misura.
Lezione 4 (4 ottobre). Esempio: infiniti lanci di una moneta. Limite inferiore e limite
superiore di eventi. Primo lemma di Borel-Cantelli.
Lezione 5 (10 ottobre).
Funzioni misurabili. Variabili aleatorie. Esempi e controesempi.
Lezione 6 (11 ottobre).
Legge e funzione di distribuizione di una variabile aleatoria. Indipendenza. Secondo lemma di Borel-Cantelli.
Lezione 7 (17 ottobre).
Esempi, esercizi con lemmi di Borel-Cantelli. Convergenza in probabilita' e
convergenza quasi certa.
Lezione 8 (18 ottobre).
Legge 0-1 di Kolmogorov. Definizione generale di integrale e prime proprieta'.
Lezione 9 (24 ottobre). Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale.
Valore atteso di una variabile aleatoria.
Lezione 10 (25 ottobre). Fattorizzazione del valore atteso per
variabili indipendenti. Disuguaglianze di Markov, Jensen, Holder. Spazi
L^p. Esempi di legge dei grandi numeri debole
e forte.
Lezione 11 (31 ottobre). Teorema di Weierstrass con polinomi di Bernstein. Esercizi per primo esonero.
Lezione 12 (14 novembre). Spazi di misura prodotto e misure
prodotto. Teorema di Fubini. Leggi congiunte. Attesa condizionata,
caso discreto.
Lezione 13 (15 novembre). Attesa condizionata rispetto a una
sigma-algebra. Proprieta' dell'attesa
condizionata. Esercizi e esempi.
Lezione 14 (21 novembre). Martingale. Processi
prevedibili. Tempi di arresto. Processo arrestato.
Lezione 15 (22 novembre). Teorema di
optional stopping di Doob. Applicazioni alle passeggiate aleatorie.
Lezione 16 (28 novembre). Esercizi con martingale.
Lezione 17 (29 novembre). Esercizi con martingale. Teorema di convergenza per
martingale limitate in L^1.
Lezione 18 (5 dicembre). Teorema di convergenza per
martingale limitate in L^2. Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov.
Lezione 19 (6 dicembre).
Disuguaglianze di Doob per sub-martingale e applicazioni.
Funzione
caratteristica. Teorema di
inversione.
Lezione 20 (12 dicembre). Trasformata di Fourier in L^1 e
funzione caratteristica. Esempi e esercizi.
Lezione 21 (13 dicembre). Equivalenza tra convergenza in
distribuzione e convergenza di funzioni caratteristiche. Teorema del
limite centrale.
Esercizi.
Lezione 22 (19 dicembre). Esercizi per secondo esonero.