Integrazione numerica

Data una funzione f(x), di cui sia disponibile una approssimazione come combinazione lineare di funzioni

$$f(x)=c_0\phi_0(x) + c_1\phi_1(x) + \cdots +c_n\phi_n(x) + E_n(x) \leqno(CL)$$

(in particolare nella forma polinomiale, o polinomiale a tratti, del paragrafo precedente), il relativo integrale si scrive

$$\int_a^bf(x)dx=c_0\int_a^b\phi_0(x)dx + c_1\int_a^b\phi_1(x)d... ...\cdots +c_n\int_a^b\phi_n(x)dx + \int_a^bE_n(x)dx. \leqno(3.1)$$

In particolare se $\phi_i(x_j)=\delta_{ij}$ come nel caso della interpolazione, si ottiene

$$\int_a^bf(x)dx=\sum_{i=0}^n w_i f(x_i) + \int_a^bE_n(x)dx. \leqno(3.2)$$

e si indica come formula di quadratura (in questo caso, di tipo interpolatorio) associata ad una certa approssimazione di f l'espressione

$$\sum_{i=0}^n w_i f(x_i) \leqno(3.3)$$

dove $w_i=\int_a^b\phi_i(x)dx$. La accuratezza di una formula di quadratura si caratterizza spesso tramite il suo grado di precisione, il massimo grado di un polinomio il cui integrale é valutato esattamente tramite la (3.2), ovvero per il quale si ha $\int_a^bE_n=0$. Una maniera piú esplicita, ma in genere non ottimale, di caratterizzare l'errore di una formula di quadratura é mediante la (ovvia) maggiorazione

$$\int_a^bE_n(x)dx\le (b-a)\Vert E_n\Vert _{L^\infty([a,b])}$$

Risultati fondamentali

$\bullet$ Se le $\phi_i$ sono la base di Lagrange, i nodi sono equidistanti con passo h, [x₀,x_n]=[a,b] (oppure x₀=a+h, x_n=b-h), allora il grado di precisione della quadratura é n se n é dispari, n+1 se n é pari. Tali formule di quadratura si indicano come quadrature di Newton-Cotes, chiuse se [x₀,x_n]=[a,b], aperte altrimenti.

$\bullet$ Se $n\le 6$, allora w_i>0 per ogni $i\in[0,n]$, e $\sum_i w_i=1$. Se n>6, allora esistono coefficienti w_i<0 per qualche $i\in[0,n]$, e $\lim_{n\to\infty}\sum_i \vert w_i\vert=\infty$.

$\bullet$ Se le $\phi_i$ sono la base associata ad una interpolazione composita di grado fissato, e f é Riemann-integrabile, allora

$$\lim_{H\to 0}\sum_{i=0}^n w_i f(x_i) = \int_a^bf(x)dx \leqno(3.3)$$

$\bullet$ Se i nodi di interpolazione sono gli zeri di un polinomio di Legendre di grado n+1 e le $\phi_i$ sono la base di Lagrange associata a questa scelta di nodi, allora la quadratura ha grado di precisione 2n+1 e per ogni n>1 ed $i\in[0,n]$, si ha w_i>0.