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Integrazione numerica

Data una funzione f(x), di cui sia disponibile una approssimazione come combinazione lineare di funzioni

\begin{displaymath}f(x)=c_0\phi_0(x) + c_1\phi_1(x) + \cdots +c_n\phi_n(x) + E_n(x)
\leqno(CL)
\end{displaymath}

(in particolare nella forma polinomiale, o polinomiale a tratti, del paragrafo precedente), il relativo integrale si scrive

\begin{displaymath}\int_a^bf(x)dx=c_0\int_a^b\phi_0(x)dx + c_1\int_a^b\phi_1(x)d...
...\cdots
+c_n\int_a^b\phi_n(x)dx + \int_a^bE_n(x)dx.
\leqno(3.1)
\end{displaymath}

In particolare se $\phi_i(x_j)=\delta_{ij}$ come nel caso della interpolazione, si ottiene

\begin{displaymath}\int_a^bf(x)dx=\sum_{i=0}^n w_i f(x_i) + \int_a^bE_n(x)dx.
\leqno(3.2)
\end{displaymath}

e si indica come formula di quadratura (in questo caso, di tipo interpolatorio) associata ad una certa approssimazione di f l'espressione

\begin{displaymath}\sum_{i=0}^n w_i f(x_i)
\leqno(3.3)
\end{displaymath}

dove $w_i=\int_a^b\phi_i(x)dx$. La accuratezza di una formula di quadratura si caratterizza spesso tramite il suo grado di precisione, il massimo grado di un polinomio il cui integrale é valutato esattamente tramite la (3.2), ovvero per il quale si ha $\int_a^bE_n=0$. Una maniera piú esplicita, ma in genere non ottimale, di caratterizzare l'errore di una formula di quadratura é mediante la (ovvia) maggiorazione

\begin{displaymath}\int_a^bE_n(x)dx\le (b-a)\Vert E_n\Vert _{L^\infty([a,b])}
\end{displaymath}



Risultati fondamentali


$\bullet$ Se le $\phi_i$ sono la base di Lagrange, i nodi sono equidistanti con passo h, [x0,xn]=[a,b] (oppure x0=a+h, xn=b-h), allora il grado di precisione della quadratura é n se n é dispari, n+1 se n é pari. Tali formule di quadratura si indicano come quadrature di Newton-Cotes, chiuse se [x0,xn]=[a,b], aperte altrimenti.


$\bullet$ Se $n\le 6$, allora wi>0 per ogni $i\in[0,n]$, e $\sum_i w_i=1$. Se n>6, allora esistono coefficienti wi<0 per qualche $i\in[0,n]$, e $\lim_{n\to\infty}\sum_i \vert w_i\vert=\infty$.


$\bullet$ Se le $\phi_i$ sono la base associata ad una interpolazione composita di grado fissato, e f é Riemann-integrabile, allora

\begin{displaymath}\lim_{H\to 0}\sum_{i=0}^n w_i f(x_i) = \int_a^bf(x)dx
\leqno(3.3)
\end{displaymath}


$\bullet$ Se i nodi di interpolazione sono gli zeri di un polinomio di Legendre di grado n+1 e le $\phi_i$ sono la base di Lagrange associata a questa scelta di nodi, allora la quadratura ha grado di precisione 2n+1 e per ogni n>1 ed $i\in[0,n]$, si ha wi>0.


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Roberto Ferretti e Tiziana Manfroni - 1999