Approssimazioni alle differenze per Equazioni Differenziali Ordinarie

Dato un problema di Cauchy in forma di sistema del primo ordine,

$$\cases{y'(x)=f(x,y(x))\cr y(x_0)=y_0\cr} \leqno(PC)$$

la filosofia generale dei metodi numerici alle differenze é di fissare un passo di discretizzazione h ed approssimare la soluzione nei punti $x_1=x_0+h,x_2=x_0+2h,\ldots$ sostituendo alla derivata y' oppurtuni rapporti incrementali. Di regola si richiede che questa approssimazione sia stabile , ovvero che dia risultati uniformemente limitati al variare del passo h, e consistente , ovvero che i rapporti incrementali usati per approssimare y' convergano (con ordine $p\ge 1$ rispetto ad h) al valore esatto.

A seconda del modo in cui si costruiscono queste approssimazioni, questi schemi vengono divisi in due classi:

Metodi ad un passo - In questo caso la approssimazione u_k+1 di y(x_k+1) si costruisce in base esclusivamente alle informazioni disponibili al passo k-esimo. Presentano il vantaggio della semplicitá di programmazione, ma richiedono ad ogni passo un certo numero di valutazioni della funzione f. E' possibile senza eccessive difficoltá realizzarne versioni a passo non costante.

Metodi a piú passi - La approssimazione u_k+1si costruisce nei metodi a piú passi (o multistep) in base alle informazioni calcolate negli ultimi p passi. I primi p passi di "innesco" della soluzione approssimata vengono calcolati per altra via (ad esempio con un metodo ad un passo). Presentano minore complessitá computazionale, specialmente con ordini di consistenza alti, ma sono in genere piú complessi da implementare ed é piú difficile gestire un passo di discretizzazione non costante. Possono presentare fenomeni oscillatori spuri.