Equazioni Differenziali Ordinarie: metodi ad un passo

La struttura generale di un metodo ad un passo per Equazioni Differenziali Ordinarie é:

$$\cases{u_{k+1}=u_k+h\Phi(h,x_k,u_k,u_{k+1})\cr u_0=y_0\cr} \leqno(1.1)$$

Nei cosiddetti metodi espliciti la funzione $\Phi$ che compare in (1.1) non dipende da u_k+1, e la approssimazione u_k+1 si puó calcolare direttamente da (1.1). Esempi di metodi espliciti sono:

Metodo di Eulero - Calcola la approssimazione u_k+1nella forma

$$u_{k+1}=u_k+hf(x_k,u_k). \leqno(1.2)$$

Tale schema é consistente con ordine 1 e stabile .

Metodo di Heun - La approssimazione u_k+1 viene calcolata nella forma

$$u_{k+1}=u_k+h\left[{1\over 2}f(x_k,u_k) + {1\over 2}f(x_k+h,u_k+hf(x_k,u_k)) \right]. \leqno(1.3)$$

Lo schema é consistente con ordine 2 e stabile .

Nei metodi impliciti la funzione $\Phi$ dipende realmente da u_k+1, ed il calcolo della nuova approssimazione va fatto risolvendo (1.1) rispetto a u_k+1.

Metodo di Eulero implicito - Calcola u_k+1 tramite l'equazione

$$u_{k+1}=u_k+hf(x_k,u_{k+1}). \leqno(1.4)$$

L'ordine di consistenza é 1 e lo schema é stabile .

Metodo di Crank-Nicolson - u_k+1 si calcola risolvendo

$$u_{k+1}=u_k+h\left[{1\over 2}f(x_k,u_k) + {1\over 2}f(x_k+h,u_{k+1})\right]. \leqno(1.5)$$

Lo schema é stabile e l'ordine di consistenza é 2.

Risultati fondamentali

$\bullet$ Se il metodo (1.1) é consistente con ordine p e stabile , allora, fissato M>0, per ogni $k\in[0,M/h]$ si ha

$$\Vert u_k-y(x_0+kh)\Vert\le Ch^p.$$

$\bullet$ Se il metodo (1.1) é esplicito e consistente , allora é anche stabile (e quindi convergente).

$\bullet$ Se il passo h é sufficientemente piccolo, ad ogni passo l'equazione (1.1) si puó risolvere rispetto a u_k+1 per sostituzioni successive.

$\bullet$ I metodi ad un passo espliciti sono di regola assolutamente stabili solo condizionatamente (ovvero per per h sufficientemente piccolo). I metodi impliciti esposti sopra sono invece incondizionatamente assolutamente stabili .