Dipartimento di Matematica

Roma TRE




AL4 - Numeri Algebrici

a.a. 2006/2007 - II Semestre


Diario delle Lezioni
Settimana 1 (19 - 21 Febbraio): Introduzione storica al corso.
Numeri algebrici. Ampliamenti algebrici semplici di un campo numerico. Ampliamenti quadratici. Ampliamenti ciclotomici. Ampliamenti finitamente generati. Il Teorema dell'Elemento Primitivo. Esempi.
Esercizi
 
Settimana 2 (26 - 28 Febbraio):  Polinomi simmetrici. Il teorema fondamentale e alcune sue conseguenze. Il polinomio generale. Il discriminante di un polinomio. Formule per il calcolo del discriminante.
Elementi coniugati. Immersioni di un campo numerico in C. Discriminante di un campo numerico rispetto ad una base. Cambiamenti di base. Discriminanti di ampliamenti quadratici e ciclotomici.
Esercizi

Settimana 3 ( 5 - 7 Marzo): L'anello degli interi algebrici di un campo numerico. Anelli di interi quadratici.
Norma e Traccia di un numero algebrico. L'anello degli interi del p-esimo ampliamento ciclotomico.

Settimana 4 (14 - 16 Marzo): Moduli e loro omomorfismi. Moduli liberi: la nozione di rango. Gruppi abeliani finitamente generati e gruppi liberi.
Definizioni equivalenti di intero algebrico. Basi intere. Cambiamento di basi intere. Il discriminante di un campo di numeri.
Esercizi

Settimana 5 (19 - 21 Marzo): Sottogruppi e quozienti di gruppi finitamente generati e gruppi liberi. Un algoritmo per la ricerca di basi intere. Calcolo di esempi.
Esercizi

Settimana 6 (26 - 28 Marzo): Proprietà aritmetiche di un dominio. Domini euclidei, principali, di Bezout, a fattorizzazione unica, con massimo comune divisore. Il caso noetheriano. Elementi primi e invertibili di Z[i].

3 Aprile: Prima prova di valutazione.

Settimana 7 (18 - 20 Aprile): Domini di Dedekind. Gli anelli di interi algebrici sono domini di Dedekind. Proprietà aritmetiche degli anelli di interi algebrici. Un criterio perché un anello di interi algebrici sia euclideo rispetto al modulo della norma o a fattorizzazione unica. Come effettuare la divisione col resto in un anello euclideo di interi quadratici. Il gruppo delle unità di un anello di interi quadratici.

Settimana 8 (27 Aprile): Il teorema delle unità di Dirichlet (enunciato ed esempi). Norma di un ideale: definizioni equivalenti e prime proprietà.
Esercizi

Settimana 9 (2 e 4 Maggio): La norma di un ideale primo. Esistono un numero finito di ideali con norma fissata. Ogni ideale è contenuto in un numero finito di ideali (primi). Ideali frazionari e ideali invertibili. In un anello di interi algebrici, ogni ideale non nullo è invertibile ed ogni ideale proprio è prodotto di ideali primi univocamente determinati. Il gruppo delle classi di ideali. Un anello di interi algebrici è a fattorizzazione unica se e soltanto se il suo gruppo delle classi è banale.
Esercizi

Settimana 10 (7 e 9 Maggio): Ideali in anelli di interi quadratici: norma e basi intere. Ricerca di ideali di norma prima. Cenni sulla teoria delle congruenze quadratiche: il simbolo di Legendre. Il problema della ramificazione: esempi di primi inerti, ramificati e decomposti in anelli di interi quadratici.
Esercizi

Settimana 11 (16 e 18 Maggio): Ancora sulla ramificazione in anelli di interi quadratici. Il simbolo di Kronecker. Elementi rappresentati da forme quadratiche. Il gruppo delle classi di un dominio di Dedekind. Finitezza del gruppo delle classi di un anello di interi algebrici (La costante di Minkowsky). Primi regolari. Calcolo di esempi.


Settimana 12 (23 Maggio): Ogni ideale di un dominio di Dedekind è (1 e 1/2)-generato. Ampliamenti di anelli di interi algebrici. Estensione e contrazione di ideali. Come rendere gli ideali principali.