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MS410 - Meccanica statistica matematica

AA 2020-2021 - II Semestre (Docente: Alessandro Giuliani)

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Programma

Diario delle lezioni

Orari

Bibliografia

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Diario delle lezioni

• Lezioni 1 e 2 [23/2/2021]
  Panoramica generale sul programma, sui temi del corso e sulla sua organizzazione.

• Lezioni 3 e 4 [25/2/2021]
  Introduzione alla meccanica statistica, I. Dal microscopico (equazioni del moto di Newton) al macroscopico (termodinamica: diagramma di fase, equazione di stato, ...). L'ipotesi ergodica.

• Lezioni 5 e 6 [1/3/2021]
  Introduzione alla meccanica statistica, II. La proposta di Boltzmann: gli ensemble statistici (microcanonico e canonico) come buoni modelli di termodinamica. Problemi risolti e problemi aperti nella meccanica statistica: transizioni di fase in sistemi di particelle interagenti nel continuo.

• Lezioni 7 e 8 [3/3/2021]
  Introduzione alla meccanica statistica, III. Una strategia per comprendere le transizioni di fase: modelli di meccanica statistica su reticolo. Alcuni risultati noti: calcolo della linea di transizione gas-liquido in modelli di gas su reticolo, punto critico, esponenti critici. L'ipotesi dell'universalità in meccanica statistica.

• Lezioni 9 e 10 [4/3/2021]
  Richiami di termodinamica, I. Gli assiomi della termodinamica dell'equilibrio per sistemi isolati: composizione di sottosistemi, stato di equilibrio di un sistema composto soggetto a vincoli. La funzione entropia e il principio del massimo dell'entropia. Temperatura, pressione e potenziale chimico come derivate dell'enetropia. Omogeneità e concavità dell'entropia. Ref: [FV17], sezioni 1.1.1, 1.1.2

• Lezioni 11 e 12 [8/3/2021]
  Richiami di termodinamica, II. Primo principio della termodinamica e identità di Eulero. La termodinamica del gas perfetto. Sistemi in contatto termico con un termostato che ne fissa la temperatura. Energia libera di Helmoltz. Ref: [FV17], sezioni 1.1.3, 1.1.4, 1.1.5

• Lezioni 13 e 14 [10/3/2021]
  Richiami di termodinamica, III. Altri potenziali termodinamici: potenziale di Landau, energia libera di Gibbs. Proprietà di convessità/concavità dei potenziali termodinamici e loro equivalenza. Identità di Eulero per i potenziali termodinamici. Identità per le derivate parziali dei potenziali termodinamici (relazioni di Maxwell). Ref: [FV17], sezione 1.1.5

• Lezioni 15 e 16 [11/3/2021]
  Funzioni convesse: teorema di regolarità (esistenza delle derivate sinistra e destra, numerabilità dei punti di non-differenziabilità); teorema di convergenza uniforme e di scambio del limite con la derivata per sequenze di funzioni convesse. Trasformata di Legendre: definizione ed esempi. Ref: [FV17], appendice B.2, fino a B.2.2

• Lezioni 17 e 18 [15/3/2021]
  Trasformata di Legendre come involuzione sulla classe delle funzioni convesse e semicontinue inferiormente. Equivalenza tra le funzioni termodinamiche e loro singolarità come luogo dei valori dei parametri termodinamici corrispondenti alle transizioni di fase. Esempi: transizioni di fase del prim'ordine con un salto nell'energia interna al variare della temperatura, e con un salto nel volume specifico al variare della pressione (transizione liquido-gas in fluidi semplici). Ref: [FV17], appendice B.2, in particolare B.2.3 e B.2.4

• Lezioni 19 e 20 [17/3/2021]
  Ancora sullo schema di Boltzmann: definizioni aggiornate e migliorate di: (1) ensemble microcanonico e canonico; (2) buoni modelli di termodinamica ed equivalenza tra i modelli associati agli ensemble canonico e microcanonico. La nozione di limite termodinamico. Ref: [Ga99], sezioni 2.1, 2.2

• Lezioni 21 e 22 [18/3/2021]
  La densità di probabilità canonica come marginale di quella microcanonica. Il gas perfetto: soluzione esatta dei modelli di termodinamica associati agli ensemble microcanonico e canonico.

• Lezioni 23 e 24 [22/3/2021]
  L'ensemble canonico come buon modello di termodinamica: idee della dimostrazione. La nozione di potenziale stabile come requisito necessario per l'equivalenza tra gli ensemble canonico e microcanonico.

• Lezioni 25 e 26 [24/3/2021]
  Idee della dimostrazione dell'equivalenza tra ensemble microcanonico e canonico. Enunciato del teorema di Fisher per l'esistenza del limite termodinamico dei potenziali termodinamici, delle loro proprietà di concavità/convessità e di equivalenza tra gli ensemble (microcanonico, canonico e grancanonico) per particelle interagenti nel continuo. Le condizioni di stabilità e temperatezza. Ref: [Ru99], sezione 3.4

• Lezioni 27 e 28 [25/3/2021]
  Riformulazione del teorema di Fisher per una classe di modelli di gas su reticolo o, equivalentemente, per una classe di modelli di spin di Ising. Dimostrazione del teorema di Fisher, I: convessità delle approssimazioni di volume finito alla pressione grancanonica; indipendenza del liminf e limsup dalle condizioni al bordo.

• Lezioni 29 e 30 [29/3/2021]
  Dimostrazione del teorema di Fisher, II: esistenza del limite termodinamico per la pressione grancanonica. Ref: [FV17], sezione 3.2.2

• Lezioni 31 e 32 [31/3/2021]
  Dimostrazione del teorema di Fisher, III: esistenza del limite termodinamico per l'energia libera canonica.

• Lezioni 33 e 34 [1/4/2021]
  Dimostrazione del teorema di Fisher, IV: equivalenza tra gli esemble canonico e grancanonico. Magnetizzazione e magnetizzazione spontanea: conseguennze del teorema di Fisher. Comportamento della funzione magnetizzazione per interazioni ferromagnetiche. Transizioni di fase del prim'ordine come punti di discontinuità della magnetizzazione. Comportamento paramegnetico e ferromagnetico. Ref: [FV17], sezioni 3.2.3 e 3.2.4

• Lezioni 35 e 36 [7/4/2021]
  Soluzione esatta del modello di Ising a primi vicini in 1D. Ref: [FV17], sezione 3.3

• Lezioni 37 e 38 [9/4/2021]
  Modello di Ising in campo medio (o modello di Curie-Weiss): definizione e motivazione, relazione euristica con modelli di Ising su Z^d con interazione ferromagnetica a portata lunga ma finita. Soluzione esatta del modello di Curie-Weiss: calcolo della pressione grancanonica e dell'energia libera canonica. Ref: [FV17], sezioni 2.1, 2.2, 2.3

• Lezioni 39 e 40 [12/4/2021]
  Modello di Curie-Weiss: calcolo della magnetizzazione spontanea e esistenza di una transizione di fase. Definizione degli esponenti critici alla transizione di fase del second'ordine. Ref: [FV17], sezioni 2.2, 2.3, 2.5.3

• Lezioni 41 e 42 [15/4/2021]
  Calcolo degli esponenti critici del modello di Curie-Weiss. Identità degli esponenti critici di Curie-Weiss con quelli di Ising ferromagnetico a portata finita in d≥4. Classi di universalità e principio di universalità. Ref: [FV17], sezioni 2.5.3, 2.5.4.

• Lezioni 43 e 44 [21/4/2021]
  Ulteriori connessioni tra i potenziali termodinamici e la magnetizzazione del modello di Curie-Weiss con quelli del modello di Ising ferromagnetico in dimensione d con potenziali a portata finita. Il teoream di Lebowitz-Penrose. Foglio di esercizi sul modello di Ising unidimensionale e sul modello di Curie-Weiss. Ref: [FV17], sezioni 2.5.4, 3.10.2, 4.10.1.

• Lezioni 45 e 46 [22/4/2021]
  Stati di volume infinito e stati di Gibbs di volume infinito. Funzioni locali e basi numerabili delle funzioni locali. Esistenza degli stati di Gibbs di volume infinito attraverso l'estrazione di una sottosequenza diagonale. Stati di Gibbs di volume infinito come misure di probabilità sullo spazio delle configurazioni di spin su Z^d con la sigma-algebra generata dagli eventi cilindrici. Teorema (enunciato): il limite degli stati di Gibbs di volume finito con condizioni al bordo + o - esistono e sono puri (i.e., sono invarianti per traslazioni e soddisfano la proprietà di clustering). Ref: [FV17], sezioni 3.4, 3.5, 6.1, 6.2

• Lezioni 47 e 48 [26/4/2021]
  Disuguaglianze GKS e FKG (enunciato). Dimostrazione del teorema sull'esistenza delle misure di Gibbs di volume infinito con condizioni al bordo + e - (prima parte). Ref: [FV17], sezione 3.6

• Lezioni 49 e 50 [28/4/2021]
  Dimostrazione del teorema sull'esistenza delle misure di Gibbs di volume infinito con condizioni al bordo + e -, sulla loro invarianza per traslazioni e proprietà di clustering (seconda parte). Estremalità degli stati di Gibbbs con condizioni al bordo + e -. Ref: [FV17], sezione 3.6

• Lezioni 51 e 52 [29/4/2021]
  Condizione DLR. Struttura di simplesso dell'insieme G(β,h) delle misure di volume infinito che soddisfano DLR a parametri (β,h). Caratterizzazione degli stati estremali di G(β,h) in termini della proprietà di clustering. Teorema (solo enunciato): tutti gli stati estremali di G(β,h) sono ottenibili come limite debole di stati di Gibbs di volume finito. Decomposizione in stati estremali. Stati di Gibbs di volume infinito invarianti per traslazioni. Stati ergodici e teorema di decomposizione ergodica (solo enunciato). Ref: [FV17], sezioni 6.2.1, 6.7, 6.8

• Lezione 53 [3/5/2021]
  Dimostrazione della disuguaglianza FKG. Ref: [FV17], sezione 3.8.2

• Lezioni 54 e 55 [5/5/2021]
  Dimostrazione della disuguaglianza GKS. Due corollari delle disuguaglianze FKG e GKS: lo stato di Gibbs è unico se e solo se <σ₀>⁺_β,h ≠ <σ₀>⁻_β,h. Inoltre, la magnetizzazione con condizioni al bordo + è crescente in h, continua da destra e, per h≥0, è crescente in β. Ref: [FV17], sezioni 3.7.1, 3.8.1

• Lezione 56 [6/5/2021]
  Equivalenza tra la nozione di transizione di fase del prim'ordine in termini della (non-)differenziabilità in h della pressione e quella in termini della (non-)unicità dello stato di Gibbs di volume infinito. Ising a primi vicini in due dimensioni a h=0: rappresentazione geometrica delle configurazioni di spin in termini di contorni di Peierls (espansione di bassa temperatura). Ref: [FV17], sezioni 3.7.1, 3.7.2

• Lezioni 57 e 58 [10/5/2021]
  Argomento di Peierls: Ising a primi vicini in 2D ha una transizione di fase del prim'ordine a h=0 e β≫1 (usando GKS la stessa conclusione rimane vera per Ising in d≥2 con
  J(x-y)≥Jδ_|x-y|,1 temperata). Rappresentazione di alta temperatura per la magnetizzazione spontanea. Ref: [FV17], sezioni 3.7.2, 3.7.3

• Lezioni 59 e 60 [12/5/2021]
  Unicità dello stato di Gibbs di Ising a primi vicini in dimensione d a h=0 e β abbastanza piccola. Dualità di Kramers-Wannier per il modello di Ising a primi vicini in d=2 e valore esatto della temperatura critica per tale modello. Ref: [FV17], sezioni 3.7.3, 3.10.1

• Lezioni 61 e 62 [13/5/2021]
  Il teorema degli zeri di Lee-Yang: enunciato e implicazioni per l'analiticità della pressione per h≠0. Dimostrazione del teorema di Lee-Yang (prima parte). Ref: [FV17], sezioni 3.7.4, App. B.3

• Lezioni 63 e 64 [17/5/2021]
  Dimostrazione del teorema di Lee-Yang (seconda parte): la contrazione di Asano. Ref: [FV17], sezione 3.7.4

• Lezioni 65 e 66 [19/5/2021]
  Espansione di Mayer per il logaritmo della funzione di partizione di Ising a primi vicini ad alta o bassa temperatura.

• Lezioni 67 e 68 [20/5/2021]
  Dimostrazione della convergenza della cluster expansion (prima parte): algoritmo di Kruskal e stima della serie per il logaritmo della funzione di partizione in termini di una somma su spanning trees.

• Lezioni 69 e 70 [20/5/2021]
  Dimostrazione della convergenza della cluster expansion (seconda parte): convergenza assoluta ad alta o bassa temperatura, uniforme nel volume di Λ, del logaritmo della funzione di partizione per unità di volume. Numero di alberi connessi su {1,...,n} a gradi fissati. Formula di Cayley.

• Lezioni 71 e 72 [26/5/2021]
  Soluzione esatta del modello di Ising a primi vicini in d=2 a h=0 (prima parte): equivalenza tra la funzione di partizione come somma sui multipoligoni di "alta temperatura" e un modello di dimeri su reticolo decorato.

• Lezioni 73 e 74 [27/5/2021]
  Soluzione esatta del modello di Ising a primi vicini in d=2 a h=0 (seconda parte): equivalenza tra la funzione di partizione del modello di dimeri su reticolo decorato e un integrale Gaussiano Grassmanniano. Algebra di Grassmann e integrali di Grassmann; cambio di variabili e integrali Gaussiani.

• Lezioni 75 e 76 [31/5/2021]
  Soluzione esatta del modello di Ising a primi vicini in d=2 a h=0 (terza parte): equivalenza tra la funzione di partizione di Ising sul toro e una combinazione lineare di quattro funzioni di partizioni Grassmanniane con condizioni al bordo periodiche/antiperiodiche in direzione orizzontale o verticale.

• Lezioni 77 e 78 [3/6/2021]
  Soluzione esatta del modello di Ising a primi vicini in d=2 a h=0 (quarta parte): diagonalizzazione a blocchi della forma quadratica associata alle funzioni di partizioni Grassmanniane. Derivazione della formula di Onsager per la pressione. Divergenza logaritmica della derivata seconda rispetto a β della pressione a β=β_c. Esponenti critici delle funzioni di correlazione spin-spin e energia-energia (solo enunciato).

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Orario lezioni (su piattaforma Teams)

- lunedì 8:00-10:00; mercoledì 13:00-15:00; giovedì 8:00-10:00

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Esercizi proposti

• Foglio di esercizi proposti [1] Esercizi.

• Foglio di esercizi proposti [2] Esercizi.

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Testi di riferimento:


• [FV17] S. Friedli and Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: A Concrete Mathematical Introduction, Cambridge: Cambridge University Press, 2017.
  Disponibile online in preprint version su https://www.unige.ch/math/folks/velenik/smbook/index.html
• [Ga99] G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A Short Treatise, Springer-Verlag 1999.
  Disponibile on-line su http://ricerca.mat.uniroma3.it/ipparco/pagine/libri.html
• [Ru99] D. Ruelle: Statistical Mechanics: Rigorous Results, World Scientific, 1999.





Ultima modifica 4/6/2021