MS410 - Meccanica statistica matematica

MS410 - Meccanica statistica matematica

AA 2021-2022 - II Semestre (Docente: Alessandro Giuliani)

Programma
Diario delle lezioni
Orari
Bibliografia

Diario delle lezioni

Lezioni 1 e 2 [21/2/2022]
Panoramica generale sul programma, sui temi del corso e sulla sua organizzazione.

Lezioni 3 e 4 [22/2/2022]
Introduzione alla meccanica statistica, I. Dal microscopico (equazioni del moto di Newton) al macroscopico (termodinamica: diagramma di fase, equazione di stato, ...). Grandezze termodinamiche come medie temporali di osservabili microscopiche. L'ipotesi ergodica.

Lezioni 5 e 6 [25/2/2022]
Introduzione alla meccanica statistica, II. La proposta di Boltzmann: gli ensemble statistici (microcanonico e canonico) come buoni modelli di termodinamica. Problemi risolti e problemi aperti nella meccanica statistica: transizioni di fase in sistemi di particelle interagenti nel continuo.

Lezioni 7 e 8 [28/2/2022]
Introduzione alla meccanica statistica, III. Una strategia per comprendere le transizioni di fase: modelli di meccanica statistica su reticolo. Alcuni risultati noti: calcolo della linea di transizione gas-liquido in modelli di gas su reticolo, punto critico, esponenti critici. L'ipotesi dell'universalità in meccanica statistica.

Lezioni 9 e 10 [1/3/2022]
Richiami di termodinamica, I. Gli assiomi della termodinamica dell'equilibrio per sistemi isolati: composizione di sottosistemi, stato di equilibrio di un sistema composto soggetto a vincoli. La funzione entropia e il principio del massimo dell'entropia. Omogeneità e concavità dell'entropia. Temperatura, pressione e potenziale chimico come derivate dell'entropia. Ref: [FV17], sezioni 1.1.1, 1.1.2

Lezioni 11 e 12 [3/3/2022]
Richiami di termodinamica, II. Primo principio della termodinamica e identità di Eulero. La termodinamica del gas perfetto. Sistemi in contatto termico con un termostato che ne fissa la temperatura. Energia libera di Helmoltz. Ref: [FV17], sezioni 1.1.3, 1.1.4, 1.1.5

Lezioni 13 e 14 [7/3/2022]
Richiami di termodinamica, III. Altri potenziali termodinamici: potenziale di Landau, energia libera di Gibbs. Proprietà di convessità/concavità dei potenziali termodinamici e loro equivalenza. Identità di Eulero per i potenziali termodinamici. Identità per le derivate parziali dei potenziali termodinamici (relazioni di Maxwell). Ref: [FV17], sezione 1.1.5

Lezioni 15 e 16 [8/3/2022]
Funzioni convesse: teorema di regolarità (esistenza delle derivate sinistra e destra, numerabilità dei punti di non-differenziabilità); teorema di convergenza uniforme e di scambio del limite con la derivata per sequenze di funzioni convesse. Trasformata di Legendre: definizione ed esempi. Ref: [FV17], appendice B.2, fino a B.2.2

Lezioni 17 e 18 [10/3/2022]
Trasformata di Legendre come involuzione sulla classe delle funzioni convesse e semicontinue inferiormente. Equivalenza tra le funzioni termodinamiche e loro singolarità come luogo dei valori dei parametri termodinamici corrispondenti alle transizioni di fase. Esempio: transizioni di fase del prim'ordine con un salto nell'energia interna al variare della temperatura. Ref: [FV17], appendice B.2, in particolare B.2.3 e B.2.4

Lezioni 19 e 20 [14/3/2022]
Ancora sull'interpretazione fisica delle singolarità dei potenziali termodinamici: il caso della transizione liquido-gas in fluidi semplici e del corrispondente salto nel volume specifico al variare della pressione (a T,N fissati). Sui modelli di termodinamica a'la Boltzmann: definizione aggiornata e migliorata del modello associato all'ensemble microcanonico. Nozione di limite termodinamico e di "buon modello di termodinamica". Ref: [Ga99], sezioni 2.1, 2.2

Lezioni 21 e 22 [15/3/2022]
La densità di probabilità canonica come marginale di quella microcanonica. Il gas perfetto: soluzione esatta dei modelli di termodinamica associati agli ensemble microcanonico e canonico.

Lezioni 23 e 24 [17/3/2022]
L'ensemble canonico come buon modello di termodinamica: idee della dimostrazione. La nozione di potenziale stabile come requisito necessario per l'equivalenza tra gli ensemble canonico e microcanonico.

Lezioni 25 e 26 [21/3/2022]
Idee della dimostrazione dell'equivalenza tra ensemble microcanonico e canonico.

Lezioni 27 e 28 [22/3/2022]
Enunciato del teorema di Fisher per l'esistenza del limite termodinamico dei potenziali termodinamici, delle loro proprietà di concavità/convessità e di equivalenza tra gli ensemble (microcanonico, canonico e grancanonico) per particelle interagenti nel continuo. Le condizioni di stabilità e temperatezza. Commenti su potenziali non stabili e/o non temperati (problema della stabilità della materia). Ref: [Ru99], sezione 3.4

Lezioni 29 e 30 [24/3/2022]
Riformulazione del teorema di Fisher per una classe di modelli di gas su reticolo o, equivalentemente, per una classe di modelli di spin di Ising. Dimostrazione del teorema di Fisher, I: convessità delle approssimazioni di volume finito alla pressione grancanonica; indipendenza del liminf e limsup dalle condizioni al bordo; esistenza del limite termodinamico della pressione grancanonica lungo sequenze di scatole diadiche. Ref: [FV17], sezione 3.2.2

Lezioni 31 e 32 [28/3/2022]
Dimostrazione del teorema di Fisher, II: indipendenza del limite delle approssimazioni a volume finito della pressione grancanonica dalla scelta della sequenza. Sull'energia libera canonica: indipendenza dalle condizioni al bordo, limite lungo sequenza di scatole diadiche con magnetizzazione diadica, convessità e uniforme continuità in m.

Lezioni 33 e 34 [29/3/2022]
Dimostrazione del teorema di Fisher, III: indipendenza del limite delle approssimazioni a volume finito dell'energia libera canonica dalla scelta della sequenza di scatole e magnetizzazione; equivalenza tra gli esemble canonico e grancanonico. Magnetizzazione e magnetizzazione spontanea: conseguennze del teorema di Fisher. Comportamento della funzione magnetizzazione per interazioni ferromagnetiche. Transizioni di fase del prim'ordine come punti di discontinuità della magnetizzazione. Comportamento paramegnetico e ferromagnetico. Ref: [FV17], sezioni 3.2.3 e 3.2.4

Lezioni 35 e 36 [31/3/2022]
Soluzione esatta del modello di Ising a primi vicini in 1D. Cenni alla soluzione nel caso di interazioni a portata finita in 1D e al teorema di Perron-Frobenius. Cenni al caso di portata infinita in 1D: generalizzazione del teorema di Perron-Frobenius al caso di interazioni che decadono più velocemente di (distanza)^-2; esistenza di transizione di fase per il ferromagnete di Dyson con J(x)=J₀|x|^-p per x≠0 e 1<p≤2. Ref: [FV17], sezione 3.3

Lezioni 37 e 38 [4/4/2021]
Modello di Ising in campo medio (o modello di Curie-Weiss): definizione e motivazione, relazione euristica con modelli di Ising su Z^d con interazione ferromagnetica a portata lunga ma finita. Soluzione esatta del modello di Curie-Weiss: calcolo della pressione grancanonica e dell'energia libera canonica. Calcolo della magnetizzazione spontanea e esistenza di una transizione di fase. Ref: [FV17], sezioni 2.1, 2.2, 2.3

Lezioni 39 e 40 [7/4/2021]
Modello di Curie-Weiss: calcolo degli esponenti critici alla transizione di fase del second'ordine. Le classi di universalità per la transizione di fase del secon'ordine di Ising ferromagnetico con interazioni a portata finita secondo la teoria del Gruppo di Rinormalizzazione: d≥4, d=3 e d=2. Enunciato del teorema di Lebowitz-Penrose sulla convergenza di pressione e energia libera di un modello di Ising con interazioni di Kac nel limite di portata infinita all'inviluppo convesso di quelle di campo medio. Ref: [FV17], sezioni 2.5.3, 4.10

Lezioni 41 e 42 [14/4/2022]
Teorema di Lebowitz-Penrose sulla convergenza della pressione e energia libera di un modello di Ising con interazioni di Kac all'inviluppo convesso di quelle di Curie-Weiss: enunciato e interpretazione fisica nel linguaggio del gas su reticolo. Connessione con la teoria di Van der Waals del gas imperfetto e con la regola di Maxwell per correggere le isoterme di Van der Waals. Ref: [FV17], sezione 4.9

Lezioni 43 e 44 [21/4/2022]
Dimostrazione del teorema di Lebowitz-Penrose.

Lezioni 45 e 46 [26/4/2022]
Stati di volume infinito e stati di Gibbs di volume infinito. Funzioni locali e basi numerabili delle funzioni locali. Esistenza degli stati di Gibbs di volume infinito attraverso l'estrazione di una sottosequenza diagonale. Stati di Gibbs di volume infinito come misure di probabilità sullo spazio delle configurazioni di spin su Z^d con la sigma-algebra generata dagli eventi cilindrici. Ref: [FV17], sezioni 3.4, 3.5, 6.1, 6.2

Lezioni 47 e 48 [28/4/2022]
Teorema (enunciato e dimostrazione): il limite degli stati di Gibbs di volume finito con condizioni al bordo + o - esistono e sono puri (i.e., sono invarianti per traslazioni e soddisfano la proprietà di clustering). Disuguaglianza FKG (solo enunciato). Ref: [FV17], sezioni 3.6.2, 3.6.3

Lezioni 49 e 50 [2/5/2022]
Estremalità degli stati di Gibbs con condizioni al bordo + e -. Condizione DLR. Struttura di simplesso dell'insieme G(β,h) delle misure di volume infinito che soddisfano DLR a parametri (β,h). Caratterizzazione degli stati estremali di G(β,h) in termini della proprietà di clustering. Teorema (solo enunciato): tutti gli stati estremali di G(β,h) sono ottenibili come limite debole di stati di Gibbs di volume finito. Decomposizione in stati estremali. Ref: [FV17], sezioni 3.6, 6.2.1, 6.7, 6.8

Lezioni 51 e 52 [3/5/2022]
Dimostrazione della disuguaglianza FKG. Disuguaglianza GKS (enunciato). Ref: [FV17], sezioni 3.8.2, 3.6.1

Lezione 53 e 54 [5/5/2022]
Dimostrazione della disuguaglianza GKS. Monotonia della magnetizzazione sponntanea come funzione di β. Due corollari delle disuguaglianze FKG e GKS: lo stato di Gibbs è unico se e solo se <σ₀>⁺_β,h ≠ <σ₀>⁻_β,h. Inoltre, la magnetizzazione con condizioni al bordo + è crescente in h, continua da destra e, per h≥0, è crescente in β. Equivalenza tra la nozione di transizione di fase del prim'ordine in termini della (non-)differenziabilità in h della pressione e quella in termini della (non-)unicità dello stato di Gibbs di volume infinito. Ref: [FV17], sezioni 3.7.1, 3.8.1

Lezioni 55 e 56 [6/5/2022]
Ising a primi vicini in due dimensioni a h=0: rappresentazione geometrica delle configurazioni di spin in termini di contorni di Peierls (espansione di bassa temperatura). Argomento di Peierls: Ising a primi vicini in 2D ha una transizione di fase del prim'ordine a h=0 e β≫1 (usando GKS la stessa conclusione rimane vera per Ising in d≥2 con
J(x-y)≥Jδ_|x-y|,1 temperata). Ref: [FV17], sezioni 3.7.2

Lezioni 57 e 58 [9/5/2022]
Sulla rappresentazione geometrica di Ising a bassa temperatura in dimensione 3 e in presenza di condizioni al bordo diverse da +. Rappresentazione di alta temperatura per la magnetizzazione spontanea. Unicità dello stato di Gibbs di Ising a primi vicini in dimensione d a h=0 e β abbastanza piccola. Ref: [FV17], sezione 3.7.3

Lezioni 59 e 60 [16/5/2022]
Dualità di Kramers-Wannier per il modello di Ising a primi vicini in d=2 e valore esatto della temperatura critica per tale modello. Il teorema degli zeri di Lee-Yang: enunciato. Ref: [FV17], sezioni 3.10.1, 3.7.4

Lezioni 61 e 62 [17/5/2022]
Il teorema degli zeri di Lee-Yang: implicazioni per l'analiticità della pressione per h≠0. I teoremi di Vitali-Porter e di Hurwitz (enunciati). Dimostrazione del teorema di Lee-Yang (prima parte). Ref: [FV17], sezioni 3.7.4, App. B.3

Lezioni 63 e 64 [19/5/2022]
Dimostrazione del teorema di Lee-Yang (seconda parte): la contrazione di Asano. Ref: [FV17], sezione 3.7.4

Lezioni 65 e 66 [20/5/2022]
Soluzione esatta del modello di Ising a primi vicini in d=2 a h=0 (prima parte): equivalenza tra la funzione di partizione come somma sui multipoligoni di "alta temperatura" e un modello di dimeri su reticolo decorato.

Lezioni 67 e 68 [23/5/2022]
Soluzione esatta del modello di Ising a primi vicini in d=2 a h=0 (seconda parte): equivalenza tra la funzione di partizione del modello di dimeri su reticolo decorato e un integrale Gaussiano Grassmanniano. Algebra di Grassmann e integrali di Grassmann; cambio di variabili e integrali Gaussiani.

Lezioni 69 e 70 [24/5/2022]
Soluzione esatta del modello di Ising a primi vicini in d=2 a h=0 (terza parte): equivalenza tra la funzione di partizione di Ising sul toro e una combinazione lineare di quattro funzioni di partizioni Grassmanniane con condizioni al bordo periodiche/antiperiodiche in direzione orizzontale o verticale.

Lezioni 71 e 72 [27/5/2022]
Soluzione esatta del modello di Ising a primi vicini in d=2 a h=0 (quarta parte): diagonalizzazione a blocchi della forma quadratica associata alle funzioni di partizioni Grassmanniane. Derivazione della formula di Onsager per la pressione. Divergenza logaritmica della derivata seconda rispetto a β della pressione a β=β_c. Esponenti critici delle funzioni di correlazione spin-spin e energia-energia (solo enunciato).

Orario lezioni

- lunedì 10:15-12:00; martedì 8:30-10:00; giovedì 8:30-10:00 (Aula A)

Esercizi proposti

Foglio di esercizi proposti [1] Esercizi.

Foglio di esercizi proposti [2] Esercizi.

Testi di riferimento:

[FV17] S. Friedli and Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: A Concrete Mathematical Introduction, Cambridge: Cambridge University Press, 2017.
Disponibile online in preprint version su https://www.unige.ch/math/folks/velenik/smbook/index.html

[Ga99] G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A Short Treatise, Springer-Verlag 1999.
Disponibile on-line su http://ricerca.mat.uniroma3.it/ipparco/pagine/libri.html

[Ru99] D. Ruelle: Statistical Mechanics: Rigorous Results, World Scientific, 1999.

Ultima modifica 10/6/2022