MS410 - Meccanica statistica matematica
AA 2024-2025 - II Semestre (Docente: Alessandro Giuliani)
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Diario delle lezioni
- Lezioni 1 e 2 [28/2/2025]
Panoramica generale sul programma, sui temi del corso e sulla sua organizzazione. Gli obiettivi della meccanica statistica nel contesto dei fluidi termodinamici. Equazione di stato e diagramma di fase di un fluido termodinamico semplice (acqua, idrogeno, neon, argon, ...)- Lezioni 3 e 4 [3/3/2025]
Introduzione alla meccanica statistica, I. Dal microscopico (equazioni del moto di Newton) al macroscopico (termodinamica: diagramma di fase, equazione di stato, ...). Grandezze termodinamiche come medie temporali di osservabili microscopiche. L'ipotesi ergodica. La proposta di Boltzmann: l'ensemble statistico microcanonico.- Lezioni 5 e 6 [5/3/2025]
Introduzione alla meccanica statistica, II. La proposta di Boltzmann: gli ensemble statistici microcanonico e canonico come buoni modelli di termodinamica. Problemi risolti e problemi aperti nella meccanica statistica: il problema delle transizioni di fase in sistemi di particelle interagenti nel continuo. Una strategia per comprendere le transizioni di fase: modelli di meccanica statistica su reticolo. Gas su reticolo e modello di Ising.- Lezioni 7 e 8 [6/3/2025]
Introduzione alla meccanica statistica, III. Modelli di meccanica statistica su reticolo. Alcuni risultati noti: calcolo della linea di transizione gas-liquido in modelli di gas su reticolo, punto critico, esponenti critici. L'ipotesi dell'universalità in meccanica statistica.- Lezioni 9 e 10 [12/3/2025]
Richiami di termodinamica, I. Gli assiomi della termodinamica dell'equilibrio per sistemi isolati: composizione di sottosistemi, stato di equilibrio di un sistema composto soggetto a vincoli. La funzione entropia e il principio del massimo dell'entropia. Omogeneità e concavità dell'entropia. Temperatura, pressione e potenziale chimico come derivate dell'entropia. Primo principio della termodinamica e identità di Eulero. Ref: [FV17], sezioni 1.1.1, 1.1.2, 1.1.3- Lezioni 11 e 12 [14/3/2025]
Richiami di termodinamica, II. Quantità termodinamiche intensive. La termodinamica del gas perfetto. Sistemi in contatto termico con un termostato che ne fissa la temperatura. Energia libera di Helmoltz come trasformata di Legendre dell'entropia e sue proprietà (convessità/concavità e identità termodinamiche per le sue derivate parziali). Ref: [FV17], sezioni 1.1.4, 1.1.5- Lezioni 13 e 14 [18/3/2025]
Altri potenziali termodinamici: potenziale di Landau, energia libera di Gibbs. Proprietà di convessità/concavità dei potenziali termodinamici e loro equivalenza. Identità di Eulero per i potenziali termodinamici. Identità per le derivate parziali dei potenziali termodinamici. Funzioni convesse: teorema di regolarità (esistenza delle derivate sinistra e destra, numerabilità dei punti di non-differenziabilità); teorema di convergenza uniforme e di scambio del limite con la derivata per sequenze di funzioni convesse. Ref: [FV17], sezione 1.1.5, appendice B.2- Lezioni 15 e 16 [19/3/2025]
Trasformata di Legendre: definizione ed esempi. L'inviluppo convesso di una funzione. La trasformata di Legendre come involuzione sulla classe delle funzioni convesse e semicontinue inferiormente. Dualità tra punti di non differenziabilità di una funzione convessa e presenza di tratti affini nel grafico della sua trasformata di Legendre. Ref: [FV17], appendice B.2, in particolare B.2.3- Lezioni 17 e 18 [20/3/2025]
Equivalenza tra le funzioni termodinamiche e loro singolarità come luogo dei valori dei parametri termodinamici corrispondenti alle transizioni di fase. Esempio: transizione di fase liquido-gas in fluidi semplici e del corrispondente salto nel volume specifico al variare della pressione (a T,N fissati). Ref: [FV17], appendice B.2, in particolare B.2.4.
Sui modelli di termodinamica a'la Boltzmann: definizione (aggiornata e migliorata) del modello associato all'ensemble microcanonico. La funzione entropia di Boltzmann: il logaritmo del volume dello spazio delle fasi accessibile. Sulle ipotesi necessarie per l'esistenza del limite termodinamico di entropia specifica, temperatura e pressione: condizioni di temperatezza e stabilità. Teorema di esistenza del limite termodinamico per il modello associato all'ensemble microcanonico (solo enunciato). Ref: [Ga99], sezioni 2.1, 2.2, 3.2- Lezioni 19 e 20 [25/3/2025]
Il caso delle interazioni di Coulomb: cenni al problema della stabilità della materia per sistemi di particelle quantistiche interagenti secondo la legge di Coulomb. Definizione di ensemble canonico come buon modello di termodinamica. Enunciato del teorema di Fisher sull'esistenza del limite termodinamico per l'ensemble canonico, e sull'equivalenza tra microcanonico e canonico. La densità di probabilità canonica come marginale di quella microcanonica. Ref: [Ga99], sezioni 2.1, 2.2, 2.3, 3.2, 3.3, 4.1, 4.2; [Ru99], sezioni 3.2, 3.4.- Lezioni 21 e 22 [26/3/2025]
Il gas perfetto: soluzione esatta del modello di termodinamica associato agli ensemble microcanonico e canonico; equivalenza tra le soluzioni ottenute con il microcanonico e con il canonico. Caso di potenziale di interazione generico: idee della dimostrazione che l'ensemble canonico è un buon modello di termodinamica, I. Proprietà di fN a V,N finiti: monotonia di fN in v=V/N; concavità di βfN in β; relazioni tra fN e uN (∂β(βfN)=uN).- Lezioni 23 e 24 [27/3/2025]
Idee della dimostrazione che l'ensemble canonico è un buon modello di termodinamica, II. Relazione tra fN e pN (∂vfN=−pN). Esistenza del limite di fNk(β,Vk/Nk) lungo una sequenza speciale di Nk e Vk: ruolo delle condizioni di stabilità e temperatezza del potenziale. Convessità di f in v.- Lezioni 25 e 26 [1/4/2025]
Idee della dimostrazione dell'equivalenza tra ensemble microcanonico e canonico. Ensemble grancanonico: definizione, relazioni termodinamiche e equivalenza con l'ensemble canonico. Indipendenza del limite termodinamico da: precisione Δ (per il microcanonico esteso); forma della scatola; condizioni al bordo.- Lezioni 27 e 28 [2/4/2025]
Modello di gas su reticolo. Enunciato del teorema di Fisher sull'esistenza del limite termodinamico dei potenziali termodinamici ed equivalenza degli ensemble per il modello di gas su reticolo con potenziale temperato. Riformulazione del modello di gas su reticolo e del corrispondente teorema di Fisher in termini di spin di Ising.- Lezioni 29 e 30 [3/4/2025]
Dimostrazione del teorema di Fisher per Ising, I. Convessità della pressione grancanonica a volume finito, indipendenza dalle condizioni al bordo, parità e monotonia in h. Esistenza del limite termodinamico della pressione grancanonica lungo una sequenza diadica di cubi. Indipendenza del limite della pressione grancanonica dalla scelta della sequenza di cubi.- Lezioni 31 e 32 [9/4/2025]
Dimostrazione del teorema di Fisher per Ising, II. Sull'energia libera canonica: concavità in β a volume finito; indipendenza del limite (in caso esista) dalle condizioni al bordo; limite lungo sequenza di scatole diadiche con magnetizzazione diadica; convessità della funzione limite in m; estensione della funzione limite per l'energia libera canonica fuori dall'insieme delle magnetizzazioni diadiche per uniforme continuità. Ref: [FV17], sezione 3.2.2- Lezioni 33 e 34 [10/4/2025]
Dimostrazione del teorema di Fisher, III: indipendenza del limite termodinamico per l'energia libera canonica dalla scelta della sequenza di scatole e magnetizzazione. Equivalenza tra gli ensemble canonico e grancanonico. Magnetizzazione e magnetizzazione spontanea: conseguenze del teorema di Fisher. Comportamento della funzione magnetizzazione per interazioni ferromagnetiche. Transizioni di fase del prim'ordine come punti di discontinuità della magnetizzazione. Comportamento paramagnetico e ferromagnetico.- Lezioni 35 e 36 [15/4/2025]
Soluzione esatta del modello di Ising a primi vicini in 1D. Cenni alla soluzione nel caso di interazioni a portata finita in 1D e al teorema di Perron-Frobenius. Ref: [FV17], sezioni 3.2.3, 3.2.4 e 3.3.- Lezioni 37 e 38 [16/4/2025]
Ancora sul modello di Ising in 1D, cenni al caso di portata infinita in 1D: generalizzazione del teorema di Perron-Frobenius al caso di interazioni che decadono più velocemente di (distanza)-2; esistenza di transizione di fase per il ferromagnete di Dyson con J(x)=J0|x|-p per x≠0 e 1<p≤2. Modello di Ising in campo medio (o modello di Curie-Weiss): definizione e motivazione, relazione euristica con modelli di Ising su Zd con interazione ferromagnetica a portata lunga ma finita. Soluzione esatta del modello di Curie-Weiss: calcolo della pressione grancanonica e dell'energia libera canonica. Calcolo della magnetizzazione spontanea e esistenza di una transizione di fase. Ref: [FV17], sezioni 2.1, 2.2, 2.3- Lezioni 39 e 40 [17/4/2025]
Modello di Curie-Weiss: calcolo degli esponenti critici alla transizione di fase del second'ordine. Le classi di universalità per la transizione di fase del secon'ordine di Ising ferromagnetico con interazioni a portata finita secondo la teoria del Gruppo di Rinormalizzazione: d≥4, d=3 e d=2. Ref: [FV17], sezioni 2.5.3, 4.10- Lezioni 41 e 42 [23/4/2025]
Enunciato del teorema di Lebowitz-Penrose sulla convergenza di pressione e energia libera di un modello di Ising con interazioni di Kac nel limite di portata infinita all'inviluppo convesso di quelle di campo medio. Enunciato e interpretazione fisica nel linguaggio del gas su reticolo. Connessione con la teoria di Van der Waals del gas imperfetto e con la regola di Maxwell per correggere le isoterme di Van der Waals. Ref: [FV17], sezione 4.9- Lezioni 43 e 44 [28/4/2025]
Dimostrazione del teorema di Lebowitz-Penrose.- Lezioni 45 e 46 [29/4/2025]
Stati di volume infinito e stati di Gibbs di volume infinito. Funzioni locali e basi numerabili delle funzioni locali. Esistenza degli stati di Gibbs di volume infinito attraverso l'estrazione di una sottosequenza diagonale. Ref: [FV17], sezioni 3.4, 3.5
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Orario lezioni
- martedì 11:00-12:30 (Aula 72); mercoledì 14:00-15:30 (Aula M6); giovedì 11:00-12:30 (Aula 72)
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Primo esonero Esercizi.
Esoneri
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Testi di riferimento:
- [FV17] S. Friedli and Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: A Concrete Mathematical Introduction,
Cambridge: Cambridge University Press, 2017.
Disponibile online in preprint version su https://www.unige.ch/math/folks/velenik/smbook/index.html - [Ga99] G. Gallavotti:
Statistical Mechanics. A Short Treatise,
Springer-Verlag 1999.
Scaricabile per uso personale qui. - [Ru99] D. Ruelle: Statistical Mechanics: Rigorous Results, World Scientific, 1999.
Ultima modifica 29/4/2025