Matematica geometrie e modelli 2010-2011
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PROGRAMMA DEL CORSO "MATEMATICA- GEOMETRIE E MODELLI", AA 2010-2011.
La sfera. La distanza sulla sfera, caratterizzazione delle "geodesiche",
o "rette".
Osservazioni locali e globali sulla sfera:
-figure piane sulla sfera e loro proprietā .
-differenze, osservabili localmente, tra geometria della sfera ed euclidea:
relazione tra raggio e circonferenza, angoli interni di figure regolari
(controesempio di Saccheri).
-differenze globali: possibili mutue posizioni delle "rette".
Geometrie localmente euclidee su superfici bidimensionali: Il cilindro,
il nastro di Mobius, il cilindro avvitato, il toro T2.
Per ciascuna geometria:
-costruzione per identificazione dei bordi di una porzione di piano;
-costruzione come spazio quoziente di una relazione di equivalenza nel piano, e
relativa "tassellazione" del piano;
-rappresentazione come superficie immersa nello spazio tridimensionale (l'
oggetto).
-la nozione di "distanza", le geodesiche, o "rette", nelle tre rappresentazioni
di ciascuna geometria.
-Mutua posizione delle "rette" nelle varie geometrie: rette parallele e intersezioni di rette nelle varie geometrie.
- presentazione di almeno un modello fisico-matematico associato ad alcune delle geometrie studiate:
cilindro: spazio delle fasi del pendolo, perla pesante
toro: eclissi
terra-luna-sole, modello spin-orbita pianeta-satellite, approssimazione delle
scale musicali pitagoree e comma pitagorico
Compatibilitā delle osservazioni locali su ciascuna geometria con quelle sul piano euclideo:
le geometrie sono "localmente euclidee".
Coordinate intrinseche ad una superficie.
Per il toro: densitā delle rette a pendenza irrazionale.
2. Algebra astratta e geometria nel piano.
Relazioni di equivalenza, classi di equivalenza, spazio quoziente.
Insiemi numerici, astrazione delle loro proprietā : i gruppi.
Gruppi di simmetrie, gruppi di simmetria del quadrato e del triangolo
equilatero.
Isometrie: traslazioni , riflessioni e glissoriflessioni; disegni invarianti
per una trasformazione.
Dominio fondamentale di un gruppo di
simmetrie.
I 7 gruppi di simmetria di una striscia (motivi "a festone", o "fregi"). Gruppi
cristallografici nel piano.
Ricostruzione univoca dell'aspetto
originale dei pavimenti dell'emiciclo dei Mercati di Traiano a a partire dai
frammenti
in situ.
3. Simmetrie 3d: la sfera e i poliedri
Solidi platonici, formula di Eulero. Dualitā. Poliedri stellati. Gruppi di simmetria dei poliedri. Sviluppo piano.
Icosaedro e rettangolo aureo. Cupole geodetiche: classificazione di alcune triangolazioni della sfera (dovuta a Coxeter) e studio delle diverse triangolazioni. Fullereni.
Conseguenze della formula di Eulero: i solidi platonici sono solo 5, i fullereni hanno esattamente 12 facce pentagonali.
Gruppi di simmetria speculare della sfera (Coxeter).
"Oltre lo sviluppo piano": approccio di problemi geometrici attraverso lo sviluppo piano di poliedri.
- Percorsi minimi sui poliedri, percorsi chiusi, distanza tra punti.
PER SOSTENERE LE PROVE SCRITTA E ORALE E PER VERBALIZZARE L'ESAME E' *INDISPENSABILE* PRENOTARSI SUL PORTALE DELLO STUDENTE
L'esame consiste di una prova scritta, ed una prova orale di tipo argomentativo.
Bibliografia:
Courant, Robbins Che cos'č la matematica? Boringhieri
L.A. Lyusternik The Shortest Lines Little Mathematics Library MIR Publishers Moscow 1983
E.A. Abbott Flatland: a Romance of
Many Dimensions, Princeton University Science Library 1991 (Dover 1953); trad.
italiana: Flatlandia, Adelphi 1996
T. Banchoff Oltre la terza dimensione Zanichelli 1993
A. Kostovskii Geometrical Constructions with compasses only Little Maths
Library MIR Publishers Moscow, 1982
R. Osserman Poesia dell' universo: l' esplorazione matematica del cosmo
Longanesi 1995
B. Riemann Sulle ipotesi che stanno
alla base della geometria Boringhieri 1994
Potrete
trovare spunti e stimoli ulteriori per i vostri lavori individuali in:
-
Nexus Network Journal
(una rivista di matematica e architettura)
- La serie "Matematica e Cultura" a cura di Michele Emmer