CORSO DI ANALISI 2 (PRIMO MODULO) Francesco Pappalardi

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Elenco provvisorio degli argomenti da preparare per l'esame di metà semestre:

1. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili - y'=f(y)g(x)
2. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine omogenee - y'=F(y/x)
3. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine lineari - y'+Py=Q
4. Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine che si possono ridurre a equazioni del primo ordine - F(y'',y',x)=0 e F(y'',y',y)=0
5. Equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee a coefficienti costanti - y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+...+a_ny=0
6. Equazioni differenziali ordinarie lineari non omogenee a coefficienti costanti - y''+ay'+by=F(x)
7. Calcolo dell'esponenziale di una qualsiasi matrice due per due - e^A
8. Calcolo dell'esponenziale di una qualsiasi matrice diagonalizzabile o nilpotente
9. Sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti omogenei di dimensione due con classificazione delle orbite - y'=Ay
10. Sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti omogenei con metrici nilpotenti o diagonalizzabili
11. dimostrazione che un dato sottoinsieme di Rⁿ  è aperto, chiuso oppure né aperto né chiuso
12. determinazione dell'interno S^o, della chiusura bar(S), della frontiera d(S) e del derivato D(S) di un sottoinsieme S di Rⁿ
13. dimostrazione che un particolare sottoinsieme di Rⁿ è discreto oppure denso
14. determinazione del dominio di una funzione di più variabili reali
15. dimostrazione  che un dato sottoinsieme di Rⁿ non è compatto costruendo un ricoprimento di dischi aperti che non ammette un sottoricoprimento finito
16. Studio della continuità (o discontinuità) di una funzione du più variabili reali (metodi: continuità per successioni, maggiorazioni, coordinate polari, funzioni omogenee)
17. Calcolo del gradiente, del differenziale e delle derivate direzionali di una funzione in piu` varibili reali
18. Calcolo delle derivate (parziali e non) usando la regola di derivazione delle funzioni composte.
19. Calcolo del piano tangente e della quadrica tangente
20. Calcolo del polinomio di Taylor di una funzione di due variabili reali. Stima del resto.
21. Soluzione di equazioni differenziali ordinare esatte
22. Calcolo e classificazione dei punti stazionari di funzioni di due variabili reali con il metodo della matrice Hessiana.
FINE ARGOMENTI PER L'ESAME DI META` SEMESTRE

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Elenco provvisorio degli argomenti da preparare per l'esame finale:

1. Calcolo della Jacobiana, del differenziale e dell'equazione dello spazio affine tangente per una funzione C¹(Rⁿ,R^m)
2. Calcolo del polinomio di Taylor di una funzione di piu` variabili reali utilizzando il polinomio di Taylor di una opportuna funzione di una variabile reale
3. Applicazioni del Teorema della funzione inversa con il calcolo del differenziale della funzione inversa
4. Applicazione del Teorema della funzione implicita a funzioni da Rn a R con il calcolo del polinomio di Taylor di funzioni definite implicitamente
5. Applicazione della forma generale del Teorema della funzione implicita
6. Calcolo del vettore tangente e della retta tangente a una rappresentazione parametrica regolare
7. Rappresentazioni parametriche equivalenti
8. Lunghezza di una curva in Rⁿ
9. Calcolo dell'ascissa curvilinea e determinazione della rappresentazione canonica di una curva
10. Calcolo di integrali doppi su x-domini e y-domini
11. Calcolo di integrali doppi in coordinate polari
12. Cambiamenti di variabili - trasformazioni affini e altre
13. Calcolo di volumi, centri di massa e baricentri
14. Calcolo degli integrali tripli su z-domini
15. Calcolo degli integrali tripli in coordinate cilindriche
16. Calcolo degli integrali tripli in coordinate sferiche
17. Cambiamenti di variabili
18. Calcolo dei volumi dei solidi di rotazione
19. Calcolo delle aree delle superfici con parametrizzazioni (e normali)
20. Calcolo delle aree delle superfici di rotazione
21. Calcolo degli integrali superficiali
22. Calcolo degli integrali curvilinei di prima specie
23. Calcolo degli integrali curvilinei di lavoro (seconda specie)
24. Analisi dei campi vettoriali conservativi (calcolo del potenziale)
25. Applicazioni del Teorema di Green nel piano
26. Calcolo delle aree mediante integrali curvilinei
27. Applicazioni del Teorema della diverganza
28. Applicazioni del Teorema di Stokes

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