AC310 - Analisi Complessa (9 cfu)

Lezioni 1 e 2 [22/9/25] Definizione assiomatica del campo complesso. Parte reale, immaginaria, complesso coniugato, modulo. Disguaglianza triangolare e topologia euclidea di C. Funzioni complesse di variabile reale (continuità, derivabilità, integrabilità). Formula di Eulero; formula di De Moivre. La funzione derivabile t ∈ R -> e^it ∈S¹ è un omeomorfismo locale dal gruppo additivo (R,+) al gruppo moltiplicativo (S¹, *); è suriettiva e iniettiva su ogni intervallo lungo 2π con un solo estremo incluso. L'esponenziale complesso e^z e formula di addizione.
Vedi: Numeri complessi (appunti) . Vedi anche: Cap 1, par 1 di [S].

Esercizi: Es 1 - 7 da Numeri complessi (appunti)
Altri esercizi elementari da [E]: Es 1.06, 1.07, 1.13, 1.21, 1.25, 1.58
Lezioni 3 e 4 [24/9/25] Proposition 1.4 [S]. Connessione. [S, p. 7 ed Es 5] Curve in C: curve regolari e regolari a tratti; parametrizzazioni equivalenti e orientamento su curve regolari [S, p. 19 e 20]. Connessione.
Dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra ( Numeri complessi (appunti 24/9/25) ).
Lezioni 5 e 6 [26/9/25] Definizione di derivata complessa e funzioni olomorfe. Esempi: i polinomi sono funzioni intere (derivabili su C) mentre z -> z coniugato, non è derivabile in s.c. (senso complesso) in alcun punto.
Teoremi elementari sulla derivata complessa [S, Proposition 2.2].
Calcolo diretto del limite del rapporto incrementale per e^z.
Differenziabilità versus derivabilità in senso complesso: f complessa è derivabile in s.c. in z se e solo se f come funzione da R² in R² è differenziabile in z e valgono le equazioni di Cauchy-Riemann; in tal caso f'=u_x+i v_x e det f'= |f'|². Gli operatori d e d bar [S, pag. 12].

Esercizi: Es 10, 11, 12 e 13 [S, Cap 1].
Lezioni 7 e 8 [29/9/25] Serie in C: convergenza e convergenza assoluta. Criterio generalizzato della radice. Serie di potenze: formula di Cauchy-Hadamard per il raggio di convergenza. Esempi: serie geometrica e serie di tipo "esponenziale".
Teorema Le serie di potenze sono olomorfe sul loro disco di convergenza e la derivata è una serie di potenze che si ottiene derivando termine a termine.
Vedi: [S, par 2.3] e Appunti su serie in C.
Esercizi: Tutti gli esercizi del par 4 (p. 26-30) di [S] tranne: Es 8, 14, 15, 21, 22 e (per ora) 24, 25 e 26.
Lezioni 9 e 10 [1/10/25] Primitive di serie di potenze. Teorema di addizione per l'esponenziale complesso. Corollario: e^z= exp z.
Esercizi: Tutti gli esercizi nel file Appunti su serie in C
Lezioni 11 e 12 [3/10/25] Discussione di esercizi assegnati di [S].
Esercizi: Svolgere gli esercizi del file Convessi e triangoli in C (ho cambiato l'Es 6).
Lezioni 13 e 14 [6/10/25] Integrazione su C [E, cap 1, par 3].
Teorema Una funzione f: A -> C, A regione di C, ha una primitiva se e solo se l'integrale di f su γ è nullo per ogni curva chiusa γ in A.
Esercizi: Sia γ la curva chiusa [-i,1]+[1,i]+[i,-1]+[-1,-i]. Calcolare l'integrale di 1/z su γ.
Lezioni 15 e 16 [8/10/25] Teorema di Cauchy-Goursat. Teorema di Cauchy su regioni stellate.
Esercizio: Rappresentazine analitica delle coordinate polari e ramo principale del logaritmo complesso; vedi file [19/10/25].
Lezioni 17 e 18 [10/10/25] Calcolo di integrali usando il teorema di Cauchy [S, cap 2, par 3].
Lezioni 19 e 20 [13/10/25] Famiglie di curve ad un parametro ed integrazione [vedi file]. Formula di Cauchy [S, cap 2, sec 4]. Formula generalizzata di Cauchy [vedi file].
Lezioni 21 e 22 [15/10/25] Conseguenze della formula (generalizzata) di Cauchy: analiticità delle funzioni olomorfe; stime di Cauchy; Teorema di Lioville; teorema fondamentale dell'algebra.
Esercizi: due esercizi di topologia .
Esercizi da 1 a 9 eccetto 5 di [S, cap 2].
Lezioni 23 e 24 [17/10/25] Discussione di esercizi assegnati.
Attenzione! la soluzione dell'esercizio "facile" dato in classe è sbagliata. Perché? e come va corretta? [suggerimento: l'esercizio chiedeva due proprietà non solo che la derivata facesse 1/z]; ricalcolare Log_{\theta_0}(-1).
Lezioni 25 e 26 [20/10/25] Principio di identità [S, Theorem 4.8, cap 2]. Zeri e poli. Classificazione delle singolarità isolate ed enunciato del "grande teorema di Picard". Esempi.
Esercizio Svolgere gli esercizi sul file il logaritmo su C tagliato .
Lezioni 27 e 28 [22/10/25] Dimostrazione del teorema sulle singolarità isolate. Poli e funzioni meromorfe; parte principale e residui. Teorema dei residui.
Esercizio 1 Dimostrare che non esiste un logaritmo su A={z: 1<|z|<2}.
Esercizio 2 Sia z(t)= t e^{2π i t} e A l'insieme aperto ottenuto dall'unione dei dischi di raggio 1/4 e centro z(t) per 1 ≤ t ≤ 10. Dire se esiste un logaritmo su A e in caso affermativo determinarlo.
Esercizi da [S]: es 1-12, cap 3, pp 103,104,105.
Lezioni 29 e 30 [24/10/25] Discussione di esercizi assegnati.
Lezioni 31 e 32 [27/10/25] Teorema di Morera e sue conseguenze (successioni di funzioni olomorfe, integrazione di funzioni olomorfe dipendenti da parametri [S, cap 2, par 5.1, 5.2, 5.3]).
Lezioni 33 e 34 [29/10/25] Principio dell'argomento [S, Theorem 4.1]. Teorema di Rouché [S, Theorem 4.3].
Calcolo di integrali coi residui.
Lezioni 35 e 36 [31/10/25] Teorema della mappa aperta [S, Theorem 4.4]. Principio del massimo modulo [S, Theorem 4.6]. Lemma di Jordan: se g è una funzione continua sul semipiano superiore e g=o(1) uniformemente su C_R= { z: |z|=R e Im z ≥ 0 } per R → ∞ e a > 0, allora l'integrale di g(z) e^{i a z} tende a 0 per R → ∞.
Lezioni 37 e 38 [3/11/25] Funzioni olomorfe coniugate e principio di riflessione di Schwarz [E, par 5.4 del cap 2]. Definizione di omotopia ed esempi
Es 1 : Es 15 cap 2 [S].
Es 2: dimostrare che essere omotope è una relazione d'equivalenza tra curve (con stessi estremi).
Es 3: dimostrare che una regione stellata è semplicemente connessa (costruendo un'opportuna omotopia tra due curve con stessi estremi).
Lezioni 39 e 40 [5/11/25] L'integrale di una funzione olomorfa su due curve (regolari) omotope coincide (con ipotesi aggiuntiva che l'omotopia H(s,t) è t.c. per ogni s fissato, t → H(s,t) è una curva regolare). Teorema di Cachy su regioni semplicemente connesse.
Soluzione dell'Es 3 del 3/11/25.
Esercizio : Dimostrare che una regione A è semplicemente connessa se e solo se ogni laccio (curva chiusa) in A è omotopo ad un qualunque suo punto.
Lezioni 41 e 42 [7/11/25] Definizione di z^α, con α reale, su domini stellati che non contengono 0. Discussione di integrali che coinvolgono z^α.

Materiale aggiuntivo

Numeri complessi (appunti)

Appunti su serie in C

Convessi e triangoli in C

Logaritmo principale

Il logaritmo su C tagliato

Famiglie di curve a un parametro

formula generalizzata di Cauchy

due esercizi di topologia

Esoneri ed esami

Primo esonero : 10/11/25, 9-11. Aula M4.

Secondo esonero : 14/1/26, 9-11. Aula M4.

Appello A : 19/1/26, 9-11. Aula M4.

Appello B : 18/2/26, 9-11. Aula 209 (Ed C).

Appello C : 15/6/26, 9-11. Aula 209 (Ed C).

Appello X : 14/9/26, 9-11. Aula 209 (Ed C).

Testo consigliato

[S] Elias M. Stein, R. Shakarchi, Complex Analysis, Princeton University Press, 2003

Altri testi

[A] Ahlfors, Lars V, Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill Book Co., New York, 1978. xi+331 pp. ISBN 0-07-000657-1

[L] Lang, Serge Complex analysis. (English summary) Fourth edition. Graduate Texts inMathematics, 103. Springer-Verlag, New York, 1999. xiv+485 pp. ISBN 0-387-98592-1

[P] Pap, Endre Complex Analysis Through Examples and Exercises Kluwer Texts in the Mathematical Sciences, V. 21 (Hardcover, 1999)

[E] M. Evgrafov, Coll, Recueil de problèmes sur la théorie des fonctions analytiques, Traduction francaise, Editions Mir, 1974