AC310 - Analisi Complessa (9 cfu)

AA 2025-2026 - I Semestre

Prof. Luigi Chierchia

Indice
Avvisi
Informazioni generali e orario delle lezioni
Programma di massima del corso
sito AC310 AA 23-24
Modalità di esame
Diario delle lezioni/esercitazioni
Materiale aggiuntivo
Testi consigliati
Esoneri ed esami

Programma di massima del corso
I. Preliminari: Numeri complessi e piano complesso. Topologia e convergenza. Funzioni continue. Funzioni olomorfe ed equazioni di Cauchy-Riemann. Serie di potenze (formula di Cauchy-Hadamard). Integrazione lungo curve.
II. Teorema di Cauchy e sue applicazioni: Teorema di Goursat. Teorema di Cauchy su insiemi stellati. Formula di Cauchy e calcolo dei residui. Continuazione analitica. Teorema di Morera. Principio di Schwarz.
III. Funzioni meromorfe e il logaritmo: Zeri, poli, singolarità essenziali. Funzioni meromorfe. Principio dell'argomento. Omotopia. Il logaritmo complesso. Teorema di Cauchy su regioni semplicemente connesse.
IV. Somme e prodotti canonici: Serie di Laurent. Teorema di Fourier-Laurent-Weierstrass. Fratti parziali; Teorema di Mittag-Leffler. Prodotti canonici e Teorema di Weierstrass.
V. Trasformazioni conformi: Mappe conformi elementari e trasformazioni lineari fratte (Möbius); automorfismi del cerchio. Il teorema di Montel e il teorema della mappa di Riemann.

Modalità d'esame
L'esame consiste in uno scritto e in un orale. Parte dello scritto verterà su esercizi assegnati nel diario delle lezioni. Ci saranno gli esoneri.

AVVISI

• [6/10/25] Il file Appunti su serie in C conteneva alcuni errori di stampa (Es 9): cfr. versione di oggi.

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• [25/8/25] Il corso comincerà lunedì 22 settembre alle ore 9 in aula M4.

Diario delle lezioni/esercitazioni (Se non specificato altrimenti, i riferimenti sono al testo [S])
• Lezioni 1 e 2 [22/9/25] Definizione assiomatica del campo complesso. Parte reale, immaginaria, complesso coniugato, modulo. Disguaglianza triangolare e topologia euclidea di C. Funzioni complesse di variabile reale (continuità, derivabilità, integrabilità). Formula di Eulero; formula di De Moivre. La funzione derivabile t ∈ R -> e^it ∈S¹ è un omeomorfismo locale dal gruppo additivo (R,+) al gruppo moltiplicativo (S¹, *); è suriettiva e iniettiva su ogni intervallo lungo 2π con un solo estremo incluso. L'esponenziale complesso e^z e formula di addizione.
  Vedi: Numeri complessi (appunti) . Vedi anche: Cap 1, par 1 di [S].
  
  Esercizi: Es 1 - 7 da Numeri complessi (appunti)
  Altri esercizi elementari da [E]: Es 1.06, 1.07, 1.13, 1.21, 1.25, 1.58

• Lezioni 3 e 4 [24/9/25] Proposition 1.4 [S]. Connessione. [S, p. 7 ed Es 5] Curve in C: curve regolari e regolari a tratti; parametrizzazioni equivalenti e orientamento su curve regolari [S, p. 19 e 20]. Connessione.
  Dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra ( Numeri complessi (appunti 24/9/25) ).

• Lezioni 5 e 6 [26/9/25] Definizione di derivata complessa e funzioni olomorfe. Esempi: i polinomi sono funzioni intere (derivabili su C) mentre z -> z coniugato, non è derivabile in s.c. (senso complesso) in alcun punto.
  Teoremi elementari sulla derivata complessa [S, Proposition 2.2].
  Calcolo diretto del limite del rapporto incrementale per e^z.
  Differenziabilità versus derivabilità in senso complesso: f complessa è derivabile in s.c. in z se e solo se f come funzione da R² in R² è differenziabile in z e valgono le equazioni di Cauchy-Riemann; in tal caso f'=u_x+i v_x e det f'= |f'|². Gli operatori d e d bar [S, pag. 12].
  
  Esercizi: Es 10, 11, 12 e 13 [S, Cap 1].

• Lezioni 7 e 8 [29/9/25] Serie in C: convergenza e convergenza assoluta. Criterio generalizzato della radice. Serie di potenze: formula di Cauchy-Hadamard per il raggio di convergenza. Esempi: serie geometrica e serie di tipo "esponenziale".
  Teorema Le serie di potenze sono olomorfe sul loro disco di convergenza e la derivata è una serie di potenze che si ottiene derivando termine a termine.
  Vedi: [S, par 2.3] e Appunti su serie in C.
  Esercizi: Tutti gli esercizi del par 4 (p. 26-30) di [S] tranne: Es 8, 14, 15, 21, 22 e (per ora) 24, 25 e 26.

• Lezioni 9 e 10 [1/10/25] Primitive di serie di potenze. Teorema di addizione per l'esponenziale complesso. Corollario: e^z= exp z.
  Esercizi: Tutti gli esercizi nel file Appunti su serie in C

• Lezioni 11 e 12 [3/10/25] Discussione di esercizi assegnati di [S].
  Esercizi: Svolgere gli esercizi del file Convessi e triangoli in C (ho cambiato l'Es 6).

• Lezioni 13 e 14 [6/10/25] Integrazione su C [E, cap 1, par 3].
  Teorema Una funzione f: A -> C, A regione di C, ha una primitiva se e solo se l'integrale di f su γ è nullo per ogni curva chiusa γ in A.
  Esercizi: Sia γ la curva chiusa [-i,1]+[1,i]+[i,-1]+[-1,-i]. Calcolare l'integrale di 1/z su γ.

• Lezioni 15 e 16 [8/10/25] Teorema di Cauchy-Goursat. Teorema di Cauchy su regioni stellate.
  Esercizio: Rappresentazine analitica delle coordinate polari e ramo principale del logaritmo complesso; vedi file.

Materiale aggiuntivo
Numeri complessi (appunti) .
Appunti su serie in C
Convessi e triangoli in C

Esoneri ed esami

Testo consigliato
[S] Elias M. Stein, R. Shakarchi, Complex Analysis, Princeton University Press, 2003

Altri testi
[A] Ahlfors, Lars V, Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill Book Co., New York, 1978. xi+331 pp. ISBN 0-07-000657-1
[L] Lang, Serge Complex analysis. (English summary) Fourth edition. Graduate Texts inMathematics, 103. Springer-Verlag, New York, 1999. xiv+485 pp. ISBN 0-387-98592-1
[P] Pap, Endre Complex Analysis Through Examples and Exercises Kluwer Texts in the Mathematical Sciences, V. 21 (Hardcover, 1999)
[E] M. Evgrafov, Coll, Recueil de problèmes sur la théorie des fonctions analytiques, Traduction francaise, Editions Mir, 1974