ME430 - Fondamenti e storia dell'Analisi Matematica
(Laurea Magistrale in Matematica LM-40, 6 cfu, 20410619)

AA 2021-2022 - II Semestre

DOCENTI: Prof. Luigi Chierchia (Università Roma Tre), Prof.ssa Silvia Mataloni (Università Roma Tre e IIS "Federico Caffè")

Indice
Avvisi
Orario delle lezioni/esercitazioni
Informazioni generali (incluso modalità di prenotazione posto in aula; istruzioni per seguire in remoto, etc)
Informazioni sul corso
Diario delle lezioni
Canale Teams (include registrazioni delle lezioni/esercitazioni)
Suggerimenti bibliografici

AVVISI

• [7/4/22] La lezione di domani venerdì 8/4/22 è cancellata. Le lezioni riprenderanno regolarmente mercoledì 27/4/22.
• [3/4/22] CALENDARIO ESAMI: "esoneri" 25 e 27 maggio 2022; 1 e 3 giugno 2022; appello A: 15/6/22; appello B: 11/7; appello C 15/9/22.
  Notare la modifica sulla modalità d'esame: l'argomento verrà assegnato due settimane prima della prova.
  Per sostenere la prova agli appelli È NECESSARIO prenotarsi almeno tre settimane prima della data della prova mediante una mail a luigi.chierchia@uniroma3.it con oggetto "PRENOTAZIONE ESAME ME430"; le prenotazioni per gli esoneri vanno, invece, fatte entro il mese di aprile 2022.
• [3/4/22] Interruzione lezioni: dal 11/4/22 al 25/4/22 non si terranno lezioni.

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• [8/3/22] ATTENZIONE: le lezioni del 9/7/22 e dell'11/3/22 sono cancellate.
  Il corso riprenderà lunedì 14/3/22 con la Prof.ssa Mataloni (si raccomanda se possibile la presenza in classe).
• [28/2/22] Ho messo una versione aggiornata (ad oggi) di [Ch2].
• [8/2/22] Il corso comincerà il 21/2/22 (aula M5).

Orario delle lezioni/esercitazioni
Le lezioni/esercitazioni si terranno lunedì (14-16), mercoledì (16-18) e venerdì (14-16) in aula M5

Informazioni generali sul corso
• Gli obiettivi formativi generali del corso sono:
  Rivisitare da un punto di vista storico e critico le strutture e i concetti fondamentali dell'Analisi Matematica, anche alla luce degli obiettivi specifici di apprendimento della scuola secondaria superiore.
  Saper progettare unità di apprendimento su tematiche centrali per l'Analisi Matematica nell'ambito di un percorso scolastico.
  
  
• Una lista di argomenti fondamentali che verranno rivisitati e approfonditi
  
  1. R e i suoi sottoinsiemi fondamentali
  2. Concetto di limite e limiti notevoli
  3. Serie
  4. Funzioni continue
  5. Derivabilità e monotonìa
  6. Derivata seconda e convessità
  7. Funzioni analitiche elementari (funzioni esponenziali, trigonometriche e loro inverse)
  8. Integrali ed aree
  9. Il Teorema fondamentale del calcolo integrale
  10. I numeri complessi
  
  
• Altri obiettivi del corso
  Analisi di momenti valutativi scolastici fondamentali quali i test/problemi/questionari dell'Esame di Stato e i test Invalsi.
  Discussione delle linee guida ministeriali.
  
  
• Modalità d'esame
  L'esame consiste nella presentazione alla lavagna da parte della candidata/o di una unità didattica ("estesa") su uno dei temi della lista degli argomenti fondamentali di cui sopra. L'argomento verrà assegnato ai candidati due settimane prima della prova. Non sono previste prove scritte né esoneri.
  Per sostenere la prova agli appelli È NECESSARIO prenotarsi almeno tre settimane prima della data della prova mediante una mail a luigi.chierchia@uniroma3.it con oggetto "PRENOTAZIONE ESAME ME430"; le prenotazioni per gli esoneri vanno, invece, fatte entro il mese di aprile 2022.
  
  
• N.B. La presenza non è obbligatoria ma è anche chiaro che la modalità di fruizione più idonea e formativa per un percorso "critico-didattico-laboratoriale" di questo tipo è in presenza.

Diario delle lezioni/esercitazioni
• Lezioni 1 e 2 [21/2/22] I 15 assiomi dei campi totalmente ordinati. Gli assiomi dei numeri reali; definizione di N, Z e Q in termini degli assiomi. Cenni sulle "costruzioni" di R a partire da Q secondo Dedekind (tagli) e Cantor-Cauchy (classi di equivalenza di successioni di Cauchy). (cfr. [Ch, cap 1], [Ch2, par 1], [M]).

• Lezioni 3 e 4 [23/2/22] Il modello dei reali di Cantor.
  Tre teoremi classici "irrinunciabili" (assieme alle loro dimostrazioni): irrazionalità di radice di 2; infinità dei numeri primi; teorema di Pitagora.

• Lezioni 5 e 6 [25/2/22]
  Piccola discussione sulla DAD (un corto sulla DAD).
  Un quarto teorema classico "irrinunciabile": somma della serie geometrica (se |x|<1, allora x+x²+ x³+x⁴+...=x/(1-x)).
  Breve excursus sulla formula di Eulero (e ^{i π} =-1).

• Lezioni 7 e 8 [28/2/22]
  Due diverse definizione della radice ennesima di numero positivo: 1) tramite estremo superiore; 2) come inversa della funzione xⁿ (con dominio [0,+∞) ) [questa seconda definizione è più "semplice" ma meno "elementare"].
  Funzioni biunivoche ed equipotenza di insiemi. Insiemi infiniti: due definizioni diverse: 1) Dedekind: un insieme è infinito se e solo se è equipotente ad un suo sottoinsieme proprio; 2) un insieme è finito se e solo se è equipotente a F_n:={k∈ N: k ≤ n}per qualche n∈ N; un insieme è infinito se non è finito. Dimostrazioni "dirette" (e facili) dell'infinità di N secondo le due definizioni. Le due definizioni sono equivalenti [segue sostanziamente dal fatto che F_n ≅ F_m se e solo n=m].

• Lezioni 9 e 10 [2/3/22] Definizione formale di successioni e serie. Serie telescopiche. Discussione della convergenza/divergenza di alcune serie notevoli. Divergenza logaritmica della serie armonica (metodo di Cauchy). Serie di Mengoli. Il criterio di condensazione di Cauchy e convergenza delle serie ∑ 1/k^a al variare di a > 0. Il criterio di confronto integrale. Il criterio di Leibnitz.

• Lezioni 11 e 12 [4/3/22] Funzioni continue: definizioni; teorema di permanenza del segno; teorema di esisteza degli zeri e del primo zero per funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato; teorema dei valori intermedi. Limiti laterali di funzioni monotone.

• Lezioni 13 e 14 [7/3/22] Alcuni limiti notevoli ("gerarchie di infinito"; limiti notevoli legati all'esponenziale e al logaritmo; limiti trigonometrici).

• Lezioni 15 e 16 [14/3/22] Cenni storici su Pitagora. Dimostrazione "per esaustione" della formula per l'area del cerchio unitario.
  Discussione generale sulle funzioni (iniettività , invertibilità, etc).

• Lezioni 17 e 18 [16/3/22] Discussione su programmi e "obiettivi minimi".
  Discussione di quesiti e problemi degli esami di maturità (1): problema 1 ordinaria 2015.

• Lezioni 19 e 20 [18/3/22] Verifica di disuguaglianze usando il teorema del valor medio di Lagrange.
  Discussione di quesiti e problemi degli esami di maturità (2): quesito 8, suppletiva 2015; quesito 9, ordinaria 2017.

• Lezioni 21 e 22 [21/3/22] Discussione di quesiti e problemi degli esami di maturità (3): quesiti 2 e 5, straordinaria 2015; quesito 2, ordinaria 2016.

• Lezioni 23 e 24 [23/3/22] Discussione di quesiti e problemi degli esami di maturità (4).

• Lezioni 25 e 26 [25/3/22] Discussione di quesiti e problemi degli esami di maturità (5).

• Lezioni 27 e 28 [28/3/22] Problemi esami di maturità (6): sessione sostitutiva 2016. Esercizi sulla ricerca del numero e segno degli zeri di polinomi.

• Lezioni 29 e 30 [1/4/22] Problemi esami di maturità (7): sessione ordinaria 2016. Radice di due e piegamento del foglio A4. La matematica del contagio video YouTube Paolo Rossi Unipd.

• Lezioni 31 e 32 [4/4/22] La teoria dell'integrazione secondo Riemann. Definizioni e proprietà fondamentali. Classi principali di funzioni integrabili secondo Riemann (monotone; continue). Definizione analitica di area. Esempio di funzione non integrabili secondo Riemann. Enunciato del teorema di Vitali-Lesgue. Misura di Peano-Jordan. Esempio di insieme aperto non misurabile secondo Peano-Jordan.

• Lezioni 33 e 34 [6/4/22] Il teorema fondamentale del calcolo (varie formulazioni); primitive. Teoremi elementari sulle derivate (Rolle, Cauchy, Lagrange).

• Lezioni 35 e 36 [27/4/22] Le funzioni trigonometriche: una definizione rigorosa delle definizione tramite "cerchio trigonometrico" (lunghezze di grafici C¹, definizione tramite integrale della funzione arcocoseno,...)
  Es: dimostrare che cos 300=-0.02... [regole: si possono usare calcolatrici scientifiche per moltiplicazioni e divisioni e il valore di pi greco ma NON per le funzioni trigonometriche o altre funzioni analitiche]

• Lezioni 37 e 38 [29/4/22] Svolgimento dell'esercizio assegnato la volta scorsa. Definizionde analitica delle funzioni trigonometriche e di pi greco.

• Lezioni 39 e 40 [2/5/22] Numeri complessi "classici e moderni". Struttura algebrica, topologica e metrica di C. La funzione esponenziale complessa, il teorema di addizione, la formula di Eulero.

• Lezioni 41 e 42 [4/5/22] Il teorema fondamentale dell'algebra e fattorizzazione dei polinomi complessi.

• Lezioni 43 e 44 [6/5/22] Discussione test Invalsi di grado 10 (secondo superiore).

• Lezioni 45 e 46 [9/5/22] Discussione test Invalsi di grado 13 (quinto superiore).

• Lezioni 47 e 48 [11/5/22] Sintesi di storia dell'analisi matematica (I parte: dalle origini al 1600)

• Lezioni 49 e 50 [13/5/22] Sintesi di storia dell'analisi matematica (II parte).

• Lezioni 51 e 52 [16/5/22] Funzioni convesse. Discussione delle linee guida ministeriali. Alcuni giochi a carattere matematico.

• Lezioni 53 e 54 [25/5/22] Seminari studenti.

• Lezioni 55 e 56 [27/5/22] Seminari studenti.

Suggerimenti bibliografici
[Tr] Tracce prove scritte Esame di Stato

[C] Cantor, G., Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen, Mathematische Annalen, vol. 5, pp. 123-132 (1872)
[Ch] Chierchia, L.: Corso di analisi, prima parte. Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su R; McGraw-Hill, 2019, 390 pagine
[Ch2] Chierchia, L.: L'analisi su R: una visione d'insieme (Una sintesi di fondamenti di analisi) [versione 28/2/22]
[D1] Dedekind, Richard, Essays on the Theory of Numbers. Open Court Publishing Company, Chicago, 1901. http://archive.org/details/essaysintheoryof00dedeuoft
[D2] J.W.R. Dedekind, Scritti sui fondamenti della matematica, a cura di F. Gana, pp. 160, BIBLIOPOLIS, EDIZIONI DI FILOSOFIA E SCIENZA, 1982
[F1] S. Feferman, The development of programs for the foundations of mathematics in the first third of the 20th century. (1993). Appears in translation as "Le scuole di filosofia della matematica" in Storia della scienza (S. Petruccioli, ed.) Istituto della Enciclopedia Italiana, 10 v., 2001-2004, v. VIII (2004) 112-121.
[F2] S. Feferman, What's special about mathematical proofs?, Remarks for the Williams Symposium on Proof, University of Pennsylvania, Nov. 9, 2012.
[G1] Giusti, E.: Piccola storia del calcolo infinitesimale dall'antichità ? al Novecento, Ist. Editoriali e Poligrafici, 2007 - 100 pagine. Cap 7 (Teoria dei num. reali ...)
[HW] Hardy, Godfrey Harold; Wright, E. M. (1979) [1938], An introduction to the theory of numbers (Fifth ed.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853170-8; 978-0-19-853171-5
[M] Masi, Alessandro, On the analytical foundations of real numbers and the didactics of Analysis , Tesi Magistrale Roma Tre, AA 2007-2008.
[MK] Morris Kline: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times ( 3 Volumes). Oxford University Press, USA | 1972-09-29 | ISBN:0195014960 | 1256 pages
[O] Olmsted, J.M.H. The Real Number System , 1962, 216 pages
[R] Rudin, W.: Principi di analisi matematica, Milano 1991
[T] Thom, R. Should we teach modern mathematic?

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi.chierchia@uniroma3.it