Interpolazioni polinomiali/polinomiali a tratti

Diamo inizialmente due espressioni facilmente calcolabili del polinomio interpolatore relativo a n+1 punti.

Data una funzione f(x) e n+1 punti (detti nodi dell'interpolazione) $x_0,\ldots,x_n$, intendiamo trovare un polinomio (interpolatore) $\Pi_n(x)$ di grado al piú n tale che:

$$\Pi_n(x_i)=f(x_i).~~~~(i=0,\ldots,n) \leqno(1.1)$$

Tale polinomio esiste ed é unico. Se ne possono dare diverse forme, le due principali sono la forma di Lagrange e quella di Newton.

Polinomio di Lagrange - Nella forma di Lagrange, il polinomio $\Pi_n(x)$ si esprime come:

$$\Pi_n(x)=\sum_{i=0}^n f(x_i) L_i(x) \leqno(1.2)$$

dove

$$L_i(x)=\prod_{j\not=i}{x-x_j\over x_i-x_j} \leqno(1.3)$$

(si noti che $L_i(x_j)=\delta_{ij}$).

Polinomio di Newton - Nella forma di Newton, il polinomio interpolatore si scrive:

$$\Pi_n(x) = f[x_0] + f[x_0,x_1](x-x_0) + \cdots + f[x_0,\ldots,x_n] (x-x_0)\cdots(x-x_{n-1}). \leqno(1.4)$$

dove le costanti $f[\cdots]$ (dette differenze divise della funzione f) sono definite ricorsivamente nel modo seguente:

$$f[x_0,\ldots,x_k] = {f[x_1,\ldots,x_k] - f[x_0,\ldots,x_{k-1}] \over x_k - x_0}, \leqno(1.5a)$$

$$f[x_0] = f(x_0). \leqno(1.5b)$$

Nei problemi di interpolazione, la convergenza del polinomio interpolatore a f dipende dalla regolaritá della funzione e dalla legge con cui si infittiscono i nodi. Ad esempio, come si vedrá nei risultati generali, mantenendo i nodi equidistanti si ottiene convergenza solo per una classe di funzioni molto ristretta.

Per ottenere precisioni crescenti nelle approssimazioni per interpolazione, si usano in pratica altre strategie:

Nodi Chebyshev - In questa strategia, i nodi sono posizionati negli zeri di un polinomio di Chebyshev di grado n+1. Nel caso dei nodi di Chebyshev-Gauss-Lobatto si scelgono i nodi

$$x_j=a+{b-a\over 2}\left(1-\cos{j\pi\over n}\right)$$

mentre nel caso dei nodi di Chebyshev-Gauss si pone

$$x_j=a+{b-a\over 2}\left(1-\cos{(2j+1)\pi\over 2n+2}\right).$$

Entrambe queste famiglie di nodi si addensano alle estremitá dell'intervallo [a,b].

Interpolazioni composite - Suddividendo l'intervallo di interpolazione [a,b] in sottointervalli di ampiezza $H\to 0$ contenenti ognuno n+1 nodi di interpolazione (n-1 interni, piú due agli estremi in comune con gli intervalli adiacenti) per ogni sottointervallo, si ottiene una interpolazione polinomiale di ordine n a tratti. In ogni sottointervallo i nodi sono in genere equidistanti.

Risultati fondamentali

$\bullet$ Se $I=[\min(x,x_0,\ldots,x_n),\max(x,x_0,\ldots,x_n)]$ e $f\in C^{n+1}(I)$, allora l'errore di approssimazione si puó rappresentare come:

$$f(x)-\Pi_n(x) = {f^{n+1}(\xi)\over (n+1)!} \omega_n(x) \leqno(1.6)$$

dove $\omega_n(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_n)$, $\xi\in I$.

$\bullet$ Se f é analitica in I, allora per $n\to\infty$ si ha $\Pi_n(x)\to f(x)$ per ogni $x\in I$, comunque si scelgano n nodi distinti. In particolare, questo é vero se x_i=i(b-a)/n (nodi equidistanti).

$\bullet$ Se $\Pi_n(x)$ é costruito sui nodi di Chebyshev, il polinomio $\omega_n(x)$ che compare nell'espressione dell'errore (1.6) ha norma minima in $L^\infty([x_0,x_n])$.Con questa scelta viene minimizzata la stima di errore, derivata da (1.6),

$$\vert f(x)-\Pi_n(x)\vert\le {1\over (n+1)!} \Vert f^{n+1}\Ver... ...^\infty([x_0,x_n])} \Vert\omega_n\Vert _{L^\infty([x_0,x_n])}.$$

$\bullet$ Se $f\in C^k(I)$ $(k\ge 1)$, il polinomio interpolatore $\Pi_n(x)$costruito sui nodi di Chebyshev converge a f(x) per $n\to\infty$, e vale la stima $\vert f(x)-\Pi_n(x)\vert\le Cn^{-k}$ per ogni $x\in I$.

$\bullet$ Se $f\in C^{n+1}(I)$, l'interpolazione composita $\Pi_{n,H}(x)$ di grado n con passo H converge a f(x) e $\vert f(x)-\Pi_{n,H}(x)\vert\le CH^{-(n+1)}$ per ogni $x\in I$.