Approssimazione di funzioni di una variabile.

Data la funzione $f:R\to R$, ci si pone il problema di approssimarla in forma di combinazione lineare di funzioni piú semplici, cioé nella forma

$$f(x)=c_0\phi_0(x) + c_1\phi_1(x) + \cdots +c_n\phi_n(x) + E_n(x) \leqno(CL)$$

in cui la famiglia $\{\phi_k\}$ si suppone densa in uno spazio opportuno X in cui si approssima f, e si vuole che $\Vert E_n\Vert _X\to 0$. Le famiglie tipiche di funzioni utili per l'approssimazione sono:

Polinomiali o polinomiali a tratti - Dal teorema di Stone-Weierstass si sa che i polinomi sono densi negli spazi C^k, e di qui si ottiene la densitá negli spazi L^p, con p finito.

Polinomi trigonometrici, esponenziali complessi - Hanno proprietá di densitá simili a quelle dei polinomi.

D'altra parte, i criteri di approssimazione piú usuali sono:

Derivate assegnate in un punto - Corrisponde alla Formula di Taylor. Si effettua tipicamente con polinomi.

Interpolazione - Consiste nell'imporre che il valore della combinazione lineare (CL) coincida con quello della funzione in un certo numero di nodi assegnati. Se ne puó dare una variante in cui puó essere eventualmente assegnato nei nodi anche il valore di un certo numero di derivate (interpolazione di Hermite). Anche in questo caso si lavora normalmente con polinomi.

Errore di norma minima - Consiste nello scegliere l'approssimazione la cui norma di errore sia minima. In genere non fornisce ricette troppo esplicite, meno che nel caso della norma L², in cui dá luogo alle serie di Fourier troncate.

Serie di Fourier troncate - Consistono nell'approssimare f con i primi n termini di uno sviluppo in serie di funzioni ortogonali (in genere, rispetto al prodotto scalare in uno spazio L² o L²_w con peso). Fornisce la migliore approssimazione nella norma associata al prodotto scalare scelto. Permette di operare sia mediante polinomi ortogonali che funzioni trigonometriche.