Serie di Fourier troncate

In questa modalitá di approssimazione, si utilizza ancora una combinazione lineare nella forma

$$f(x)=c_0\phi_0(x) + c_1\phi_1(x) + \cdots +c_n\phi_n(x) + E_n(x) \leqno(CL)$$

ma in questo caso si richiede che le funzioni $\phi_i$ siano ortogonali rispetto ad un dato prodotto scalare $(\cdot,\cdot)$, ed i coefficienti c_isono definiti da $c_i=(f,\phi_i)$. Nel caso piú comune, il prodotto scalare che si utilizza é quello nello spazio L²_w([a,b]) di funzioni di quadrato sommabile rispetto ad un certo peso w(x), ed in conseguenza si avrá

$$\int_a^b \phi_k(x)\phi_j(x)w(x)dx \cases{>0 & se $k=j$\cr =0 & se $k\not=j$\cr} \leqno(2.1)$$

$$c_k=\int_a^b \phi_k(x)f(x)w(x)dx. \leqno(2.2)$$

In pratica gli integrali che compaiono in (2.1), (2.2) vanno valutati a loro volta in modo approssimato. Le scelte piú frequenti sono:

Serie di Fourier trigonometriche - Corrispondono a scegliere $w(x)\equiv 1$ ed un sistema trigonometrico per le $\phi_i$. Gli integrali (2.2) possono essere calcolati tramite la trasformata di Fourier discreta, o in alcuni casi anche la trasformata veloce (con minore ordine di complessitá).

Serie di Fourier-Legendre - Corrispondono a scegliere $w(x)\equiv 1$, e per le $\phi_i$ il sistema dei polinomi ortogonali di Legendre . In questo caso gli integrali (2.2) possono essere calcolati in modo efficiente tramite quadrature di tipo gaussiano (vedi §3).

Serie di Fourier-Chebyshev - In questo caso, riportandosi convenzionalmente all'intervallo [-1,1], si sceglie w(x)=(1-x²)^-1/2, e per le $\phi_i$ il sistema dei polinomi di Chebyshev . E' ancora possibile calcolare i coefficienti c_k tramite quadrature gaussiane (vedi §3).

Risultati fondamentali

$\bullet$ Tra tutte le combinazioni lineari nella forma (CL), quella data dai coefficienti (2.2) é quella per cui l'errore L²_w é minimo.

$\bullet$ Se la famiglia $\{\phi_i\}$ é densa in L²_w([a,b]), allora per $n\to\infty$, $\Vert E_n\Vert _{L^2_w}\to 0$.

$\bullet$ Se $f\in C^{k}([a,b])$, si ha

$$\Vert E_n\Vert _{L^2_w}\le Cn^{-k}$$

per tutte le famiglie di funzioni viste in precedenza (nel caso del sistema trigonometrico , occorre peró che f sia periodica e C^k(R)).