Elementi
algebrici e trascendenti. L'ampliamento Q(π^n) \sub Q(π);
polinomio minimo di π su Q(π^n). L'ampliamento Q
\sub Q(√2+√5); calcolo del
polinomio minimo di √2+√5 su Q e base di Q(√2+√5) su Q. Studio
dell'ampliamento Q \sub Q(√2,
√5) come successione di ampliamenti semplici.
Un ampliamento "simbolico" K di F_3 in cui
il polinomio X^3+X^2+2 su F_3 abbia almeno una radice e calcolo
del grado [K: F_3].
Esercizi
Settimana 3.
Equazioni
quadratiche e biquadratiche. Formula del doppio radicale.
Settimana 4.
Immersioni
e automorfismi che fissano un campo. Ogni F-immersione K—>K di un ampliamento finito K di F
è un F-automorfismo.
Campi di spezzamento su Q di polinomi biquadratici. Costruzione dei Q-automorfismi di un
campo di spezzamento K di
polinomi biquadratici come estensione di Q-immersioni in C di sottocampi di K. La
struttura del gruppo di
Galois (del campo di spezzamento su Q) del polinomio X^4+30X^2+45.
Settimana 5.
Costruzione di campi finiti. Isomorfismi fra campi finiti equipotenti.
Esempi di ricerca di polinomi irriducibili di grado fissato su F_p.
Immersioni fra F_9 e F_{81}.
Esercizi
Settimana 6.
Calcolo di gruppi
di Galois. Esempi di polinomi biquadratici con gruppi di Galois
isomorfi rispettivamente a Z_4 e al gruppo di Kline.
Osservazioni ed esempi sulla formula del radicale doppio. Estensione degli
automorfismi di F_9 ad automorfismi di F_{81}.
Settimana 7.
Correzione della
prima prova in itinere.
Settimana 8.
La corrispondenza
di Galois per i campi di spezzamento su Q dei
polinomi X^3-p, con p numero primo e X^4+30X^2+45 e per il
settimo ampliamento ciclotomico.
Settimana 9.
Il teorema di
estensione e le sue applicazioni riguardanti l'espressione del gruppo
di Galois del composto di due campi come prodotto diretto di gruppi di
Galois. Esempi. Calcolo del gruppo di Galois di X^5-2 e e di
(X^2-2)(X^3-2) su Q.
Settimana 10.
Per ogni intero positivo n esiste un polinomio irriducibile su Q il cui gruppo di
Galois è ciclico di ordine n. Esempi. Per ogni numero primo
p dispari esiste un polinomio irriducibile su Q di grado
(p-1)/2 con tutte radici reali.
Settimana 11.
Per ogni gruppo abeliano finito G di ordine n esiste un polinomio irriducibile su Q di
grado n il cui gruppo di Galois è isomorfo a G.
Costruzione di un ampliamento ciclotomico contenente un campo L tale che
Gal(L/Q) è isomorfo a Z_2 × Z_2.
Esempi di polinomi di quinto grado con gruppo di Galois totale.
Settimana 12.